Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

A figura 3 ilustra uma barra não-condutora unidimensional, de comprimento L , posicionada ao longo do eixo x .

A barra tem uma densidade linear de carga variável λ x = A x , onde A é uma constante positiva e 0 ≤ x ≤ L . O ponto P indicado na figura 3 está localizado ao longo do eixo vertical, a uma distância y da origem do sistema de coordenadas.

Admita que o potencial elétrico é nulo no infinito. Para tais circunstâncias:

a Calcule o potencial elétrico no ponto P .

b Calcule a componente y do campo elétrico E y no ponto P .

c A componente x do campo elétrico E x no ponto P pode ser calculada usando o resultado do item (a)? Justifique sua resposta.

Passo 1

a Calcule o potencial elétrico no ponto P .

O primeiro passo para calcular o potencial é começar com a expressão do potencial d V gerado por uma pedaço da barra, com carga d q :

d V = d q 4 π ϵ 0 r

Onde:

d q = λ x d x = A x   d x

r = x 2 + y 2

Logo:

d V = A x 4 π ϵ 0 x 2 + y 2 d x

Agora basta integrar esse cara:

V = A 4 π ϵ 0 ∫ 0 L x x 2 + y 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver essa integral utilizando uma substituição simples:

u = x 2 + y 2 → d u = 2 x   d x → d u 2 = x   d x

x = 0 → u = y 2

x = L → u = L 2 + y 2

Assim, teremos:

V = A 4 π ϵ 0 ∫ y 2 L 2 + y 2 1 2 d u u  

V = A 4 π ϵ 0 u y 2 L 2 + y 2

V = A 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y

Passo 3

b Calcule a componente y do campo elétrico E y no ponto P .

O campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico através da seguinte equação:

E → = - ∇ → V = - ∂ V ∂ x i ^ + ∂ V ∂ y j ^ + ∂ V ∂ z k ^

Como o potencial elétrico não depende nem de x e nem de z , teremos:

E → = - ∂ V ∂ y j ^

Substituindo a expressão do potencial, teremos:

E y = - ∂ ∂ y A 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y

E y = - A 4 π ϵ 0 y L 2 + y 2 - 1

E y = A 4 π ϵ 0 1 - y L 2 + y 2

Passo 4

c A componente x do campo elétrico E x no ponto P pode ser calculada usando o resultado do item (a)? Justifique sua resposta.

Como a expressão do potencial elétrico depende somente da coordenada y , só é possível calcular a componente y do campo elétrico E y . A componente x do campo elétrico E x , embora seja diferente de zero, não pode ser calculada utilizando-se o mesmo método.

Resposta

a

V = A 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y

b

E y = A 4 π ϵ 0 1 - y L 2 + y 2

c

Como a expressão do potencial elétrico depende somente da coordenada y , só é possível calcular a componente y do campo elétrico E y . A componente x do campo elétrico E x , embora seja diferente de zero, não pode ser calculada utilizando-se o mesmo método.

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