Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

USP, Física 3, P1 - 2013, Questão 1

Considere um bastão de comprimento h e carregado com densidade linear uniforme de carga λ disposto conforme a figura.

  1. Calcule o vetor campo elétrico no ponto P 1 de coordenadas 0 , y , 0 , para y > 0 .
  2. Calcule o potencial elétrico no ponto P 2 de coordenadas x , 0,0 . Para x > h / 2 .
  3. A partir do potencial calcule a componente x do campo elétrico no ponto P 2 de coordenadas x , 0,0 , para x > h / 2 .

Passo 1

  1. Calcule o vetor campo elétrico no ponto P 1 de coordenadas 0 , y , 0 , para y > 0 .
  2. Beleza, pra resolver esse tipo de problema, nós vamos pegar uma parte infinitesimal do bastão, com carga d q e, a partir dela, chegar à expressão do campo elétrico da barra.

    O campo elétrico gerado pelo elemento de carga d q é dado por:

    d E = d q 4 π ϵ 0 r 2   r ^

    Onde:

    r ^ = r r

    Logo:

    d E = d q 4 π ϵ 0 r 3   r

    Guarda isso que eu vou te falar agora, ok? Sempre que for resolver esse tipo de problema, você necessariamente vai ter que decompor o vetor de campo elétrico, beleza?

    Então vamos fazer isso no próximo passo.

    Passo 2

    Olhando a figura, podemos escrever o vetor r = - x i ^ + y j ^ . Consegue ver isso?

    Isso acontece porque o vetor aponta no sentido positivo do eixo y . Além disso, o vetor aponta no sentido negativo do eixo x quando x > 0 e no sentido positivo do eixo x quando x < 0 .

    Continuando...

    Sendo esse o vetor r , a distância r será:

    r = x 2 + y 2

    Passo 3

    Antes de voltarmos pra fórmula, repara que a carga infinitesimal d q pode ser escrita em função da densidade linear de carga λ .

    d q = λ d x

    O d x apareceu porque o bastão está posicionada ao longo do eixo x .

    Agora sim!

    Passo 4

    No passo 1, nós achamos o seguinte:

    d E = d q 4 π ϵ 0 r 3   r

    Nos passos 2 e 3, vimos que:

    r = - x i ^ + y j ^

    r = x 2 + y 2

    d q = λ d x

    Substituindo tudo isso na fórmula, teremos:

    d E = λ 4 π ϵ 0   - x x 2 + y 2 3 / 2   d x   i ^ + y x 2 + y 2 3 / 2   d x   j ^

    Confere aí e vê se está tudo no lugar!

    Agora é “só” integrar isso tudo!

    Lembrando que x varia entre - h / 2 e h / 2 .

    E = λ 4 π ϵ 0   - - h / 2 h / 2 x x 2 + y 2 3 / 2   d x   i ^ + y - h / 2 h / 2 1 x 2 + y 2 3 / 2   d x   j ^

    Bom, aqui não vale muito a pena ficarmos quebrando a cabeça com isso, então vou pelo menos te dizer como começar a resolver o problema, beleza?

    A primeira integral

    - h / 2 h / 2 x x 2 + y 2 3 / 2   d x = 1 x 2 + y 2 1 / 2 - h / 2 h / 2

    é resolvida com substituição simples, se você chamar u = x 2 + y 2 e d u = 2 x   d x . Lembrando que, já que estamos resolvendo pra x , trataremos y como uma constante.

    A segunda integral

    - h / 2 h / 2 1 x 2 + y 2 3 / 2   d x = x y 2 x 2 + y 2 1 / 2 - h / 2 h / 2

    é resolvida por substituição trigonométrica, se você chamar x = y tan θ e d x = y sec 2 θ   d θ .

    Só vale lembrar que na prova você vai ter que quebrar a cabeça e resolver essas integrais, então é mais fácil quebrar a cabeça agora e saber pra onde ir caso você tenha que resolver uma dessas na prova, beleza?

    Resolvidas as integrais, você vai encontrar:

    E = λ 4 π ϵ 0   - 1 x 2 + y 2 1 / 2 - h / 2 h / 2 i ^ + y x y 2 x 2 + y 2 1 / 2 - h / 2 h / 2 j ^

    E = λ 4 π ϵ 0   - 1 x 2 + y 2 1 / 2 - h / 2 h / 2 i ^ + x y x 2 + y 2 1 / 2 - h / 2 h / 2 j ^

    Quando nós substituirmos os valores, o primeiro termo já era, pode conferir, vai sobrar só o segundo termo:

    E = λ 4 π ϵ 0 h 2 y h 2 4 + y 2 1 / 2 + h 2 y h 2 4 + y 2 1 / 2 j ^

    E = λ 4 π ϵ 0 h y h 2 4 + y 2 1 / 2 j ^

    E = λ 4 π ϵ 0   h y 2 h 2 + 4 y 2 1 / 2 j ^

    E = λ h 2 π ϵ 0 y h 2 + 4 y 2   j ^

    Passo 5

  3. Calcule o potencial elétrico no ponto P 2 de coordenadas x , 0,0 . Para x > h / 2 .
  4. Vamos usar o mesmo princípio que usamos pro cálculo do campo elétrico. Vamos pegar um pedaço infinitesimal do bastão com uma carga d q , escrever o potencial correspondente d V e a partir daí encontrar o potencial no ponto x , 0 .

    O potencial d V é dado por:

    d V = d q 4 π ϵ 0 r

    Novamente, podemos escrever d q como:

    d q = λ d x '

    Como a distância r está sobre o eixo x , podemos dizer que

    r = x - x '

    Onde x ' varia entre - h / 2 e h / 2 .

    Passo 6

    Agora é só quebrar um pouco mais a cabeça com as contas:

    d V = λ d x ' 4 π ϵ 0 x - x '

    V = λ 4 π ϵ 0 - h / 2 h / 2 d x ' x - x '

    V = - λ 4 π ϵ 0 ln x - x ' - h / 2 h / 2

    V = - λ 4 π ϵ 0 ln x - h / 2 x + h / 2

    V = λ 4 π ϵ 0 ln x + h / 2 x - h / 2

    Por fim:

    V = λ 4 π ϵ 0 ln 2 x + h 2 x - h

    Passo 7

  5. A partir do potencial calcule a componente x do campo elétrico no ponto P 2 de coordenadas x , 0,0 , para x > h / 2 .

Por definição:

E = - d V d r

Como estamos interessados na componente x do campo elétrico, podemos dizer que:

E x = - V x

Agora é só derivar e ser feliz!

E x = - x   λ 4 π ϵ 0 ln 2 x + h 2 x - h

E x = - λ 4 π ϵ 0 x ln 2 x + h ) - x ( ln 2 x - h  

Pra acabar, agora é só arrumar a casa:

E x = - λ 4 π ϵ 0 2 2 x + h - 2 2 x - h  

E x = λ 4 π ϵ 0 2 2 x - h - 2 2 x + h  

E x = λ 2 π ϵ 0 1 2 x - h - 1 2 x + h  

E x = λ 2 π ϵ 0 2 x + h - 2 x - h 4 x 2 + h 2  

E x = λ 2 π ϵ 0 2 h 4 x 2 + h 2  

E x = λ π ϵ 0 h 4 x 2 + h 2  

E x = λ h π ϵ 0   1 4 x 2 + h 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

  1. E 0 , y = λ h 2 π ϵ 0 y h 2 + 4 y 2   j ^

  2. V x , 0 = λ 4 π ϵ 0 ln 2 x + h 2 x - h

E x = λ h π ϵ 0   1 4 x 2 - h 2

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