Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Elaboração Própria

Um cilindro condutor infinito ao longo do eixo O x de raio R tem densidade de carga constante λ . Calcule o potencial a uma distância r do eixo O x do cilindro, dado que a uma distância R 0 > R ele vale V 0 . O potencial dado poderia ter sido no infinito?

Passo 1

Rascunhando a situação, temos:

Como essa questão é a cara da Lei de Gauss para calcular o campo, vamos preferir utilizar a fórmula:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

Escolhendo um caminho radial em direção ao cilindro. Estabelecido isso, vamos partir para calcular o campo. enunciando a Lei de Gauss:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Pela simetria cilíndrica do problema, escolhemos uma Gaussiana cilíndrica de raio arbitrário r e comprimento arbitrário L . Dado que escolhemos uma superfície com essas dimensões e já aproveitamos a simetria do campo, temos que o vetores normais à parte lateral da superfície são paralelos ao campo, ao passo que os vetores normais nas tampas são perpendiculares a ele, de forma que:

G = Lateral   +   Tampas

∯ G E → ∙ d A → = ∯ Lateral E → ∙ d A → + ∯ Tampas E → ∙ d A →

De forma que:

∯ Tampas E → ∙ d A → = 0

Portanto:

∯ G E → ∙ d A → = ∯ Lateral E d A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela configuração do campo, o seu módulo é constante em toda parte lateral da Gaussiana:

∯ Lateral E d A = E ∯ Lateral d A

E temos então a área da lateral com nossa integral:

∯ G E → ∙ d A → = E A

A expressão para a área lateral é dada pela fórmula:

A = 2 π r × L

Logo, temos:

E 2 π r L = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 2 π L ϵ 0 r

Passo 3

Temos uma densidade linear constante, portanto é válido dizer que a razão entre a carga interna à Gaussiana e o comprimento dela é igual à densidade:

Q i n t L = λ

Logo temos:

Q i n t = λ L

Substituindo na expressão do campo:

E = λ L 2 π L ϵ 0 r

E = λ 2 π ϵ 0 r

Ainda pela questão da simetria, temos que o campo vai ter somente essa componente radial, então:

E → = λ 2 π ϵ 0 r r ^

Passo 4

Partindo do ponto dado para um ponto arbitrário com distância r até o centro, escolhemos um caminho C qualquer.

O caminho pode sim ser qualquer um, como na figura, mas se você quiser evitar do examinador da prova exigir uma demonstração desse fato, talvez você queira particularizar e dizer que o caminho é radial, daí nesse caso temos que o campo e o seu vetor d r → são sempre paralelos ao longo do caminho. Aplicando na fórmula, temos:

Δ V = - ∫ C   λ 2 π ϵ 0 r ' r ^ ⋅ d r ' r ^

Δ V = - ∫ C   λ 2 π ϵ 0 r ' r ^ ∙ d r ' r ^

Arrumando: V r - V R 0 = - λ 2 π ϵ 0 ∫ R 0 r d r ' r '

V r - V 0 = - λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r R 0

V r = V 0 - λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r R 0

E é isso. Mas e aí, poderia ter sido arbitrado no infinito esse potencial inicial? Não, pois a integral não aceitaria r = ∞ . Você estaria tentando fazer:

∫ ∞ r d r ' r ' = ln ⁡ r - ln ⁡ ∞

Coisa que não daria certo, pois ln ⁡ ∞ é infinito também.

Resposta

V r = V 0 - λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r R 0

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