Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

UFRJ – Física 3 – 2019.2 – 2º CH

2 . Um plano infinito é posicionado sobre o plano X Y de um sistema de coordenadas. Ele encontra-se carregado com uma densidade superficial de carga constante σ > 0 .

( a ) Sabendo que o campo elétrico produzido pelo plano em um ponto P = ( x ,   y ,   z ) qualquer do espaço tem a forma E → ( P ) = E z ( z ) z ^ , utilize a lei de Gauss para determinar E z ( z ) , considerando as regiões z > 0 e z < 0 .

( b ) Determine o potencial elétrico produzido pelo plano no ponto P , considerando as mesmas regiões acima. Considere que o potencial é nulo sobre o próprio plano.

Passo 1

Vamos lá então para mais esse problema e vamos acabar com ele!

O item ( a ) pede que encontremos E z ( z ) e que utilizemos a lei de Gauss, que nos diz que o fluxo do campo elétrico por uma superfície é igual a carga total no interior da superfície divido por ϵ 0 , temos então que:

∮ S E → ⋅ d A → = Q i n t S ϵ 0

Só que para fazermos esse cálculo temos que definir uma superfície por onde teremos o fluxo do campo. Como o plano carregado é infinito temos que o campo embaixo do plano é igual ao campo encima em qualquer ponto, com isso vamos escolher a seguinte superfície:

Onde o elemento de área d A → aponta para fora da superfície em cada lado. Com isso poderemos desenvolver esse item e encontrar E z ( z ) .

Agora para encontrar o potencial pedido em ( b ) , vamos usar o fato de que

V a - V b = ∫ a b E → ⋅ d l →

Onde essa integral não depende do caminho escolhido, mas sim dos pontos iniciais e finais.

Como enunciado já nos dá que o potencial no plano é nulo, vamos escolher a como um ponto sobre o próprio plano ( x i , y i , 0 ) e o ponto b como o nosso ponto P = ( x , y , z ) , com isso temos que:

V ( x i , y i , 0 ) - V ( x , y , z ) = ∫ ( x i , y i , 0 ) ( x , y , z ) E → ⋅ d l →

Para continuar o problema precisaremos do campo E → que vamos encontrar em ( a ) .

Vamos acabar com esse problema!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos lá, começando com o item ( a ) , temos o seguinte:

∮ S E → ⋅ d A → = Q i n t S ϵ 0

Primeiro vamos lidar com o lado esquerdo e depois lidamos com o lado direito dessa equação.

Podemos separar essa integral em três integrais, que representa o fluxo pela parte superior e inferior da superfície e a parte a lateral, assim temos:

∮ S E → ⋅ d A → = ∮ i n f e r i o r E → ⋅ d A → + ∮ s u p e r i o r E → ⋅ d A → + ∮ l a t e r a l E → ⋅ d A →

Agora vamos ver umas coisinhas, o enunciado nos diz que o campo E → só tem componente na direção z , então na parte lateral teremos E → perpendicular a d A → , logo E → ⋅ d A → = 0 , assim:

∮ l a t e r a l E → ⋅ d A → = 0

A integral nas superfícies superior e inferior são iguais, já que as superfícies são iguais, assim temos:

∮ S E → ⋅ d A → = 2 ∮ s u p e r i o r E → ⋅ d A →

Passo 3

Usando o fato de que para um ponto P qualquer temos:

E → ( P ) = E z ( z ) z ^

E que como o elemento de área d A → para a superfície superior aponta para a direção z , temos:

d A → = d A z ^

Com isso nossa integral fica da seguinte forma:

2 ∮ s u p e r i o r E → ⋅ d A → = 2 ∮ s u p e r i o r E z ( z ) z ^ ⋅ d A z ^

Como z ^ é um vetor unitário, temos que z ^ ⋅ z ^ = 1 e como a integral não depende de z , temos que:

2 ∮ s u p e r i o r E z ( z ) z ^ ⋅ d A z ^ = 2 E z ( z ) ∮ s u p e r i o r d A

A integral de d A vai nos dá a própria área, assim temos que:

∮ S E → ⋅ d A → = 2 E z ( z ) A

Passo 4

Agora vamos mexer com o lado direito da equação, que é:

Q i n t S ϵ 0

Onde Q i n t S é a carga interna a superfície. O enunciado fala que a densidade superficial de carga é dada por σ e a superfície pega uma área A do plano, temos que:

Q i n t S = σ A

Juntando tudo temos o seguinte:

2 E z z A = σ A ϵ 0

⇒ E z z = σ 2 ϵ 0

Agora pela simetria do plano temos que

E z z = σ 2 ϵ 0 ,     z > 0

E z z = - σ 2 ϵ 0 ,     z < 0

Passo 5

Agora vamos mexer com item ( b ) .

Do passo 1 tínhamos que:

V ( x i , y i , 0 ) - V ( x , y , z ) = ∫ ( x i , y i , 0 ) ( x , y , z ) E → ⋅ d l →

Como vimos no item ( a ) o campo para um dado ponto P nas regiões z > 0 e z < 0 , é dado por

E → ( P ) = E z ( z ) z ^ = ± σ 2 ϵ 0 z ^

E usando que V x i , y i , 0 = 0 já que o potencial em qualquer ponto do plano é zero segundo o enunciado, ficamos com:

- V ( x , y , z ) = ∫ ( x i , y i , 0 ) ( x , y , z ) ± σ 2 ϵ 0 z ^ ⋅ d l →

Como eu disse no passo 1 o caminho que tomamos pode ser qualquer um, com isso temos que:

d l → = d x x ^ + d y y ^ + d z z ^

Então temos o seguinte:

- V ( x , y , z ) = ± σ 2 ϵ 0 ∫ ( x i , y i , 0 ) ( x , y , z ) z ^ ⋅ ( d x x ^ + d y y ^ + d z z ^ )

Temos que esse produto escalar entre z ^ e d l → nos dá d z , logo só nos interessa a direção z com isso temos que:

- V ( z ) = ± σ 2 ϵ 0 ∫ 0 z d z

⇒ - V ( z ) = ± σ z 2 ϵ 0

Passo 6

Para simplificar a nossa notação, vamos usar que z = z para z > 0 e z = - z para z < 0 , teremos que:

V z = - σ z 2 ϵ 0

Onde o valor do módulo muda dependendo da região que estamos olhando.

Resposta

a

E z z = σ 2 ϵ 0 ,     z > 0

E z z = - σ 2 ϵ 0 ,     z < 0

( b )

V z = - σ z 2 ϵ 0

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