Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Considere a casca esférica isolante representada na figura abaixo.

O centro da casca esférica coincide com as origens dos eixos x y . O raio interno da casca é a , aquele externo b . A densidade volumétrica de carga ρ r NÃO é uniforme e tem a seguinte expressão:

ρ r = 0 ,     p a r a   0 < r < a ;

ρ r = C . a + r ,     p a r a   a < r < b .

a Calcule as unidades de medida da constante C .

b Calcule o potencial elétrico V 0 na origem dos eixos.

c Calcule o campo elétrico na origem dos eixos, SEM utilizar a Lei de Gauss.

Suponha agora que a carga liquida da casca esférica se conserve, mas que o material isolante seja trocado por um material condutor. Seja Q L o valor da carga líquida (conhecido).

d Calcule, em função de Q L , o valor das densidades superficiais de cargas σ a e σ b (interna e externa) da casca esférica.

e O potencial elétrico V 0 na origem dos eixos muda de valor em comparação ao valor calculado no item b ? Se não mudar, justifique porquê. Se mudar, calcule o novo valor em função de Q L , usando o método que preferir.

Passo 1

a Calcule as unidades de medida da constante C .

De acordo com o enunciado, a densidade volumétrica de carga, para a < r < b , é dada por:

ρ r = C . a + r

Pra calcular as unidades de medida de C , basta fazer uma análise dimensional da expressão acima:

ρ = C . a + r

Onde:

ρ = C m 3

a + r = m

Logo:

C m 3 = C . m

C = C m 4

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Passo 2

b Calcule o potencial elétrico V 0 na origem dos eixos.

Como o problema já nos avisou que não podemos utilizar a Lei de Gauss, teremos que ir por outro caminho.

Vamos dividir então essa casca esférica em várias cascas esféricas de espessura infinitesimal, com uma carga d q , de forma que o potencial d V gerado, na origem, por cada casca é dada por:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

Onde podemos associar a carga d q à densidade volumétrica de carga da seguinte forma:

d q = ρ d V

Onde ρ = C . a + r , d V = 4 π r 2 . d r e a < r < b .

d q = C . a + r . 4 π r 2 . d r = 4 π C a r 2 + r 3 . d r

Substituindo na expressão do potencial, teremos:

d V = 1 4 π ϵ 0 4 π C a r 2 + r 3 r d r = C ϵ 0 a r + r 2 d r

Agora é só integrar esse cara:

V = ∫ a b C ϵ 0 a r + r 2 d r = C ϵ 0 ∫ a b a r + r 2 d r

V = C ϵ 0 a r 2 2 + r 3 3 a b

V = C ϵ 0 a b 2 2 - a 3 2 + b 3 3 - a 3 3

Finalmente:

V = C ϵ 0 a b 2 2 + b 3 3 - 5 a 3 6

Passo 3

c Calcule o campo elétrico na origem dos eixos, SEM utilizar a Lei de Gauss.

Aquele momento em que o problema te pede pra calcular o campo elétrico sem usar a Lei de Gauss:

Mas relaxa! Essa é uma questão meramente argumentativa.

Se liga! Se pegarmos dois pontos simetricamente opostos com uma carga infinitesimal d q , o campo elétrico gerado por esses dois caras, no centro, vai ser dado da seguinte forma:

Ou seja, por conta da forma como a carga está distribuída na casca esférica (variando apenas com o raio), todos os pares de pontos simetricamente opostos gerarão campos elétricos que se cancelam na origem.

Como resultado, o campo elétrico na origem será nulo.

Passo 4

d Calcule, em função de Q L , o valor das densidades superficiais de cargas σ a e σ b (interna e externa) da casca esférica.

Ao trocarmos o material da casca esférica para um condutor, como não há nenhuma carga na cavidade, toda a carga agora irá se acumular na superfície externa, logo:

Q a = 0

Q b = Q L

Dessa forma, as densidades de cargas nas superfícies serão:

σ a = Q a 4 π a 2

σ a = 0

σ b = Q b 4 π b 2

σ b = Q L 4 π b 2

Passo 5

e O potencial elétrico V 0 na origem dos eixos muda de valor em comparação ao valor calculado no item b ? Se não mudar, justifique porquê. Se mudar, calcule o novo valor em função de Q L , usando o método que preferir.

Para calcular o potencial na origem, vamos utilizar a seguinte equação:

V B - V A = - ∫ A B E → ∙ d r →

Sendo assim, vamos começar encontrando uma expressão para o campo elétrico.

Utilizando a Lei de Gauss nesta situação, dada a simetria esférica, teremos::

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

E . 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

No entanto, para qualquer valor de r < b não há carga no interior da superfície gaussiana. Isso significa que, nesse caso:

E = 0 ,     p a r a   r < b

Para r > b a gaussiana engloba a superfície externa da casca esférica, com carga Q L , logo:

E = Q L 4 π ϵ 0 r 2 ,     p a r a   r > b

Passo 6

Agora estamos prontos pra calcular o potencial elétrico na origem!

Para isso, vamos aplicar a equação da ddp aplicada a duas regiões: r ≥ b e r < b , usando como ponto inicial o infinito (onde o potencial é nulo). Dessa forma:

V 0 - V ∞ = - ∫ ∞ b E → ∙ d r → - ∫ b 0 E → ∙ d r →

Substituindo as expressões para essas regiões que encontramos no Passo 5, e lembrando que V ∞ = 0 teremos:

V 0 - 0 = - ∫ ∞ b Q L 4 π ϵ 0 r 2 d r - ∫ b 0 0   d r

V 0 = - Q L 4 π ϵ 0 ∫ ∞ b d r r 2

V 0 = - Q L 4 π ϵ 0 - 1 r ∞ r

V 0 = Q L 4 π ϵ 0 r

Resposta

a C = C m 4

b V = C ϵ 0 a b 2 2 + b 3 3 - 5 a 3 6

c E → = 0 → .

d

σ a = 0

σ b = Q L 4 π b 2

e

V 0 = Q L 4 π ϵ 0 r

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