Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

UFRJ- Física 3 – P1 2019.2

Uma barra isolante fina de comprimento 2L é posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas com seu ponto médio sobre a origem, como mostrado na figura abaixo. A porção 0 < x < L possui uma densidade linear de carga constante λ > 0 e a porção - L < x < 0 possui uma densidade linear - λ . Considere que o potencial elétrico produzido pela barra é nulo em um ponto infinitamente afastado dela.

(a) Determine o potencial elétrico produzido pela barra em um ponto P sobre o eixo X, localizado a uma distancia a > L da origem.

(b) Determine uma expressão assintótica para o resultado encontrado no item anterior no limite a ≫ L . Interprete esse resultado.

Formulário: ln ⁡ ( 1 + x ) ≈ x , com | x | ≪ 1 .

Passo 1

Vamos lá, queremos o potencial de um corpo extenso em um certo ponto do espaço. Vamos calcular o potencial de um pedacinho da barra de carga d q   no ponto em que ele quer, e depois integramos na barra inteira para ter o potencial total, ok?

O potencial do pedacinho é

d V = k d q r

Temos que

d q = λ x d x

Atenção! Coloquei o λ ( x ) porque o valor muda conforme a posição x, certo?

E r = a - x que é a distância entre o pedacinho da barra e o ponto em que queremos calcular o potencial.

Então

d V = k λ x d x a - x

Vamos integrar agora, o comprimento da barra vai de - L até L . Então

V = ∫ - L L k λ x d x a - x

Mas o lambda depende de x, então vamos separar essa integral:

V = ∫ - L 0 k ( - λ ) d x a - x + ∫ 0 L k ( λ ) d x a - x

V = k λ - ∫ - L 0 d x a - x + ∫ 0 L d x a - x

Fazendo uma transformação simples: u = a - x , d u = - d x .

A integral:

∫ - L 0 d x a - x = ∫ - d u u = - ln ⁡ u = - ln ⁡ ( a - x )

Avaliando nos limites, essa integral vale:

∫ - L 0 d x a - x = - ln ⁡ a + ln ⁡ a + L

Já a outra integral:

∫ 0 L d x a - x = ∫ - d u u = - ln ⁡ u = - ln ⁡ ( a - x )

Avaliando nos limites:

∫ 0 L d x a - x = - ln ⁡ a - L + ln ⁡ a

Substituindo os resultados na equação:

V = k λ - ( - ln ⁡ a + ln ⁡ a + L ) + - ln ⁡ a - L + ln ⁡ a

V = k λ 2 ln ⁡ a - ln ⁡ a + L + ln ⁡ a - L

Usando propriedades do log:

V = k λ ln ⁡ a 2 - ln ⁡ [ ( a + L ) ( a - L ) ]

Usando a regra do produto pela diferença:

V = k λ ln ⁡ a 2 - ln ⁡ a 2 - L 2

Novamente, pelas propriedades do log:

V = k λ ln ⁡ a 2 a 2 - L 2

Prontinho!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Vamos analisar a situação em que a ≫ L , ou seja, estamos calculando o potencial muito longe da barra.

Temos a equação do item anterior

V = k λ ln ⁡ a 2 a 2 - L 2

Mas

a 2 a 2 - L 2 = a 2 a 2 1 - L 2 a 2 = 1 1 - L 2 a 2 = 1 - L 2 a 2 - 1

Então

V = k λ ln ⁡ a 2 a 2 - L 2 = k λ ln ⁡ 1 - L 2 a 2 - 1

V = - k λ ln ⁡ 1 - L 2 a 2

E como a ≫ L então L a ≪ 1 logo L 2 a 2 ≪ 1 . Agora, vamos usar o que ele falou no formulário. O x = - L 2 / a 2 . Então, pela aproximação l n ⁡ ( 1 + x ) ≈ x . Dessa forma:

V ≈ - k λ - L 2 a 2

V ≈ k λ L 2 a 2

Bom esse potencial é inversamente proporcional ao quadrado da distância a ,portanto não tem a cara de um potencial de uma carga puntiforme (que é inversamente proporcional a distância), e tudo bem. Pois é uma barra que tem uma carga total nula, já que cada metade é carregada de forma oposta.

Esse potencial inversamente proporcional ao quadrado da distância é característico de um dipolo. O que faz sentido, pois a distribuição de cargas lembra um dipolo, se vermos de longe: metade vai estar negativa e a outra metade positiva.

Resposta

a) V = k λ ln ⁡ a 2 a 2 - L 2

b) V ≈ k λ L 2 a 2

Bom esse potencial é inversamente proporcional ao quadrado da distância a ,portanto não tem a cara de um potencial de uma carga puntiforme (que é inversamente proporcional a distância), e tudo bem. Pois é uma barra que tem uma carga total nula, já que cada metade é carregada de forma oposta.

Esse potencial inversamente proporcional ao quadrado da distância é característico de um dipolo. O que faz sentido, pois a distribuição de cargas lembra um dipolo, se vermos de longe: metade vai estar negativa e a outra metade positiva.

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