Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Densidade de Carga, Campos Elétricos e Corpos Carregados, Potencial Elétrico

Dois fios retilíneos de mesmo comprimento a , separados por uma distância b , estão uniformemente carregados com densidades lineares de carga + λ e – λ .

  1. Calcule o campo elétrico E no ponto P , centro do retângulo de lados a e b ;
  2. Calcule o potencial elétrico V nesse ponto, supondo que V = 0 no infinito;
  3. Se uma carga de prova q 0 for colocada no ponto P , qual é a força instantânea que age sobre ela?

Passo 1

a) Calcule o campo elétrico E no ponto P , centro do retângulo de lados a e b ;

Beleza, nesse tipo de problema, o melhor caminho e fazer uma barra de cada vez, entender como vai ficar o campo elétrico para uma barra e estender o raciocínio para a outra.

Vambora!

Pra começar, nós vamos pegar uma parte infinitesimal do bastão, com carga d q e, a partir dela, chegar à expressão do campo elétrico da barra.

O campo elétrico gerado pelo elemento de carga d q é dado por:

d E → = d q 4 π ϵ 0 r 2   r ^

Onde:

r ^ = r → r

Logo:

d E → = d q 4 π ϵ 0 r 3   r →

Guarda isso que eu vou te falar agora, ok? Sempre que for resolver esse tipo de problema, você necessariamente vai ter que decompor o vetor de campo elétrico, beleza?

Então vamos fazer isso no próximo passo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Olhando a figura, podemos escrever o vetor r → = - x i ^ - b / 2 j ^ com - a / 2 < x < a / 2 . Consegue ver isso?

Isso acontece porque o vetor aponta no sentido negativo do eixo y . Além disso, o vetor aponta no sentido negativo do eixo x quando x > 0 e no sentido positivo do eixo x quando x < 0 .

Continuando...

Sendo esse o vetor r → , a distância r será:

r = x 2 + ( b / 2 ) 2

Passo 3

Antes de voltarmos pra fórmula, repara que a carga infinitesimal d q pode ser escrita em função da densidade linear de carga λ .

d q = λ d x

O d x apareceu porque o bastão está posicionado ao longo do eixo x .

Agora sim!

Passo 4

No passo 1, nós achamos o seguinte:

d E → = d q 4 π ϵ 0 r 3   r →

Nos passos 2 e 3, vimos que:

r → = - x i ^ - b / 2 j ^

r = x 2 + ( b / 2 ) 2

d q = λ d x

Substituindo tudo isso na fórmula, teremos:

d E → = λ 4 π ϵ 0   - x x 2 + b 2 2 3 / 2   d x   i ^ - b / 2 x 2 + b 2 2 3 / 2   d x   j ^

Confere aí e vê se está tudo no lugar!

Antes de começar a esquentar a cabeça com toda a conta que vem pela frente, tem um jeito de simplificar isso aqui.

Se pegarmos dois pontos equidistantes e analisarmos o campo elétrico resultante, vamos ter o seguinte:

Como dá pra ver na imagem, as componentes na direção x se cancelam, ou seja, se fossemos integrar a componente i ^ do nosso campo aí em cima íamos achar 0 . Faz sentido né? Já que isso aí é uma função ímpar integrada entre - a / 2 e a / 2 .

Isso significa que nós só teremos que nos preocupar com a componente na direção y .

Passo 5

Voltando ao problema:

d E → = λ 4 π ϵ 0   - x x 2 + b 2 2 3 / 2   d x   i ^ - b / 2 x 2 + b 2 2 3 / 2   d x   j ^

Acabamos de ver que podemos simplificar isso aqui para:

d E → = λ 4 π ϵ 0   - b / 2 x 2 + b 2 2 3 / 2   d x   j ^

Agora é “só” integrar isso tudo!

Lembrando que x varia entre - a / 2 e a / 2 .

E → = λ 4 π ϵ 0   - b 2 ∫ - a / 2 a / 2 1 x 2 + b 2 2 3 / 2   d x   j ^

Bom, aqui não vale muito a pena ficarmos quebrando a cabeça com isso, então vou pelo menos te dizer como começar a resolver o problema, beleza?

A integral

∫ - a / 2 a / 2 1 x 2 + b 2 2 3 / 2   d x = x b 2 2 x 2 + b 2 2 1 / 2 - a / 2 a / 2

é resolvida por substituição trigonométrica, se você chamar x = ( b / 2 ) tan ⁡ θ e d x = ( b / 2 ) sec 2 ⁡ θ   d θ .

Só vale lembrar que na prova você vai ter que quebrar a cabeça e resolver essa integral, então é mais fácil quebrar a cabeça agora e saber pra onde ir caso você tenha que resolver uma dessas na prova, beleza?

Resolvidas as integrais, você vai encontrar:

E → = λ 4 π ϵ 0   - b 2 x b 2 2 x 2 + b 2 2 1 / 2 x = - a / 2 x = a / 2 j ^

E → = λ 4 π ϵ 0   - x b 2 x 2 + b 2 2 1 / 2 x = - a / 2 x = a / 2 j ^

Quando nós substituirmos os valores, o primeiro termo já era, pode conferir, vai sobrar só o segundo termo:

E → = - λ 4 π ϵ 0 a b a 2 4 + b 2 4 1 / 2 + a b a 2 4 + b 2 4 1 / 2 j ^

E → = - λ 4 π ϵ 0 2 a b a 2 4 + b 2 4 1 / 2 j ^

E → = - λ 4 π ϵ 0   2 a b 2 a 2 + b 2 1 / 2 j ^

E → = - λ a π ϵ 0 b a 2 + b 2   j ^

Passo 6

Olhando agora pra barra com densidade linear de carga – λ , dá pra ver que vai acontecer a mesma coisa que anteriormente, e o campo elétrico resultante vai continuar apontando pra baixo:

Então o campo elétrico resultante dessa barra vai ser exatamente igual ao da primeira barra. Logo:

E → = - λ a π ϵ 0 b a 2 + b 2   j ^

Portanto, o campo elétrico resultante será:

E → R = 2 E →

E → R = - 2 λ a π ϵ 0 b a 2 + b 2   j ^

Passo 7

b) Calcule o potencial elétrico V nesse ponto, supondo que V = 0 no infinito;

Vamos usar o mesmo princípio que usamos pro cálculo do campo elétrico. Vamos pegar um pedaço infinitesimal da barra com uma carga d q , escrever o potencial correspondente d V e a partir daí encontrar o potencial no ponto P .

d V = d q 4 π ϵ 0 r

Sabendo que o potencial resultante é igual à soma do potencial, se pegarmos um ponto de cada barra com a mesma distância r para o ponto P , o potencial d V é dado por:

d V = λ d x 4 π ϵ 0 r - λ d x 4 π ϵ 0 r = 0

Lembrando que a barra superior possui um elemento de carga d q = λ d x e a barra inferior possui um elemento de carga d q = - λ d x .

Logo:

V = 0

Passo 8

c) Se uma carga de prova q 0 for colocada no ponto P , qual é a força instantânea que age sobre ela?

Na letra a nós vimos que o campo elétrico resultante é dado por:

E → R = - 2 λ a π ϵ 0 b a 2 + b 2   j ^

Por definição, podemos associar o campo elétrico com a força elétrica por:

F → = q E →

Logo:

F → = - 2 λ q 0 a π ϵ 0 b a 2 + b 2   j ^

Resposta

a.

E → R = - 2 λ a π ϵ 0 b a 2 + b 2   j ^

b.

V = 0

c.

F → = - 2 λ q 0 a π ϵ 0 b a 2 + b 2   j ^

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