Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Um anel circular isolante de raio R possui uma carga q > 0 uniformemente distribuída sobre seu comprimento. Uma partícula de carga - q e massa m encontra-se inicialmente em repouso sobre o eixo do anel, em um ponto muito afastado de seu centro. Desprezando a ação da gravidade, os módulos da velocidade e da aceleração dessa partícula quando ela passa pelo centro do anel valem, respectivamente:

(a) q 2 π ϵ 0 m R e 0

(b) q 2 π ϵ 0 m R e q 2 4 π ϵ 0 m R

(c) q 2 π ϵ 0 m R e 0

(d) q 2 π ϵ 0 m R e q 2 4 π ϵ 0 m R

(e) 0 e 0

Passo 1

Para calcular a velocidade com que partícula chega ao centro do anel podemos usar conservação de energia

E s u p e r a f a s t a d a = E c e n t r o d o   a n e l

Quando a partícula está super afastada, a energia de interação entre o anel e a partícula é nula. Como a partícula parte do repouso, temos também que a sua energia cinética é nula, assim

E s u p e r a f a s t a d a = 0

Por outro lado, a energia da partícula no centro do anel é dada por

E c e n t r o d o   a n e l = 1 2 m v 2 + U

onde o primeiro termo é a sua energia cinética e U é a energia de interação entre o anel e a partícula. Assim

E c e n t r o d o   a n e l = 0 → 1 2 m v 2 + U = 0

v 2 = - 2 U m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos calcular a energia de interação entre a partícula e o anel.

Como o anel tem carga total q e raio R a densidade linear de carga do anel é dada por

λ = q 2 π R

Guarda isso aí que a gente vai usar mais tarde.

Cada pedacinho do anel, então terá um comprimento d l e uma carga d q de forma que

λ = d q d l → d q = λ d l

Como estamos falando de um anel, temos que em coordenadas polares o comprimento d l é dado por R d θ , ou seja

d q = λ R d θ

Cada pedacinho desse anel produzirá um potencial d V no centro do anel. Como o centro do anel está a uma distância R do centro do anel, temos que

d V = d q 4 π ϵ 0 R

Substituindo o infinitésimo de carga, d q , podemos finalmente integrar em θ !

d V = λ R d θ 4 π ϵ 0 R → V = λ 4 π ϵ 0 ∫ 0 2 π d θ = λ 4 π ϵ 0 2 π

V = λ 2 ϵ 0

Substituindo λ = q / 2 π R

V = q 4 π ϵ 0 R

Agora que sabemos o potencial no centro do anel, podemos calcular a energia potencial da partícula no centro do anel

U = - q V = - q 2 4 π ϵ 0 R

E assim podemos finalmente calcular a velocidade da partícula

v 2 = - 2 U m = 2 m q 2 4 π ϵ 0 R = q 2 2 π ϵ 0 R m

v = q 2 π ϵ 0 R m

Passo 3

No centro do anel temos que o campo elétrico é nulo. Isso por que para cada pedaço do anel com carga d q criando um campo d E → no centro do anel haverá um outro pedaço do lado oposto do anel gerando um campo no centro do anel de mesma intensidade, porém no sentido oposto, conforme a figura

Assim, o campo elétrico no centro do anel será nulo e consequentemente a força elétrica sobre a partícula será nula também. Isso significa que sua aceleração no centro do anel é nula.

a = 0

Resposta

(a)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas