Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Energia Potencial e Densidade de Energia, Potencial Elétrico

Há dois anéis com centros no mesmo eixo a uma distância a um do outro e de raio também a .

O anel 1 possui carga Q 1 uniformemente distribuída, e o anel 2 possui carga Q 2 uniformemente distribuída.

  1. Qual o potencial elétrico no centro de cada um dos anéis?
  2. Se colocarmos uma carga + q no centro do anel 1, qual o trabalho necessário que um agente externo deve realizar para leva-la até o centro do anel 2? (O sinal tem significado físico!)

Passo 1

a) Qual o potencial elétrico no centro de cada um dos anéis?

No centro de um dos anéis, o potencial resulta da soma dos potenciais dos dois anéis. Pra começar, vamos pegar o ponto no centro do anel da esquerda:

Cada elemento de carga d q gera um potencial elétrico d V . Logo:

d V e s q = d V 1 + d V 2

d V e s q = k   d q 1 r 1 + k   d q 2 r 2

∫ d V e s q = k r 1 ∫ d q 1 + k r 2 ∫ d q 2

V e s q = k Q 1 r 1 + k Q 2 r 2

Onde:

r 1 = a

r 2 = a 2 + a 2 = a 2

Por fim:

V e s q = k Q 1 a + k Q 2 a 2

V e s q = k a Q 1 + Q 2 2

Já o potencial no anel da direita vai ter o mesmo raciocínio! É só trocar Q 1 por Q 2 !

V d i r = k a Q 2 + Q 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Se colocarmos uma carga + q no centro do anel 1, qual o trabalho necessário que um agente externo deve realizar para levá-la até o centro do anel 2? (O sinal tem significado físico!)

Podemos associar a diferença de potencial com o trabalho a partir da relação:

Δ V = W q

Nesse caso é com sinal + por que esse é o trabalho de uma força externa. Seria com sinal de se fosse o trabalho da força elétrica.

E a diferença de potencial é dada por

Δ V = V f i n a l - V i n i c i a l = V d i r - V e s q

Assim

W = q Δ V = q V d i r - V e s q

Substituindo os valores

W = q k a Q 2 + Q 1 2 - k a Q 1 + Q 2 2

W = q k a Q 2 1 - 1 2 + Q 1 1 2 - 1

W = q k a Q 2 - Q 1 1 - 1 2

Resposta

a.

V e s q = k a Q 1 + Q 2 2

V d i r = k a Q 2 + Q 1 2

b.

W = q k a Q 2 - Q 1 1 - 1 2

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