Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Densidade de Carga, Potencial Elétrico

A figura mostra uma barra fina de plástico de comprimento L , sobre o eixo x , carregada com densidade uniforme de carga λ .

Com V = 0 no infinito:

a ) Calcule o potencial elétrico no ponto P sobre o eixo y ;

b ) Determine, a partir do potencial, a componente E y do campo elétrico em P ;

c ) Por que a componente E x do campo elétrico neste ponto não pode ser calculada usando o resultado do item a ?

Dado:

∫ d x x 2 + a 2 = ln ⁡ x + x 2 + a 2

Passo 1

a ) Calcule o potencial elétrico no ponto P sobre o eixo y ;

Vamos começar escrevendo a expressão d V do potencial gerado por um pedaço infinitesimal, de carga d q :

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

Graficamente, a ideia é essa:

Daqui podemos tirar que:

d q = λ   d x

r = b 2 + x 2

Substituindo isso na expressão de d V , teremos:

d V = λ 4 π ϵ 0 d x b 2 + x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra finalizar, temos apenas que integrar esse cara de a até a + L :

V = λ 4 π ϵ 0 ∫ a a + L d x b 2 + x 2

Beleza! Essa é daquelas integrais que podem te complicar, mas o próprio problema já te deu a resposta dela.

Logo, continuando:

V = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ x + b 2 + x 2 a a + L

V = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ a + L + b 2 + a + L 2 - ln ⁡ a + b 2 + a 2

V = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ a + L + b 2 + a + L 2 a + b 2 + a 2

Passo 3

b ) Determine, a partir do potencial, a componente E y do campo elétrico em P ;

Bom, o potencial em um ponto qualquer sobre o eixo y é dado por:

V = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ a + L + y 2 + a + L 2 a + y 2 + a 2

Assim, por definição, o campo elétrico E y será dado por:

E y = - d V d y

Assim, só temos que derivar esse cara, beleza?

E y = - λ 4 π ϵ 0 d d y ln ⁡ a + L + y 2 + a + L 2 a + y 2 + a 2

E y = - λ 4 π ϵ 0 d d y ln ⁡ a + L + y 2 + a + L 2 - ln ⁡ a + y 2 + a 2

E y = - λ 4 π ϵ 0 y y 2 + a + L 2 a + L + y 2 + a + L 2 - y a 2 + y 2 a + a 2 + y 2

Sim, ficou muito feio isso.

Como ele pediu no ponto P, temos que substituir y = b .

E y = - λ 4 π ϵ 0 b b 2 + a + L 2 a + L + b 2 + a + L 2 - b a 2 + b 2 a + a 2 + b 2

Passo 4

c ) Por que a componente E x do campo elétrico neste ponto não pode ser calculada usando o resultado do item a ?

Porque o potencial foi calculado no item a para qualquer ponto sobre o eixo y , independendo de x .

Resposta

a )

V = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ a + L + b 2 + a + L 2 a + b 2 + a 2

b )

E y = - λ 4 π ϵ 0 b b 2 + a + L 2 a + L + b 2 + a + L 2 - b a 2 + b 2 a + a 2 + b 2

c )

Porque o potencial foi calculado no item a para qualquer ponto sobre o eixo y , independendo de x .

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