Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Densidade de Carga, Lei de Gauss, Potencial Elétrico

Na figura abaixo temos uma esfera não condutora de raio R carregada com uma carga Q distribuída uniformemente em todo o seu volume (densidade volumétrica de cargas constante e igual a ρ 0 ).

Calcular:

a ) O potencial V r para r > R e r < R ;

b ) Qual é a diferença de potencial entre um ponto da superfície da esfera, V R e o potencial no centro da mesma V 0 ?

c ) Obter a componente E x do campo elétrico para r > R e r < R ;

r → = x i ^ + y   j ^ + z k ^

Passo 1

a ) O potencial V r para r > R e r < R ;

- r > R

Para essa geometria, é uma boa calcularmos o potencial a partir do campo elétrico.

O campo elétrico gerado por uma esfera de raio R e de carga Q , na região r > R é dado por:

E → = 1 4 π ϵ 0 Q r 2   r ^

V r = - ∫ ∞ r E → ∙ d r → = - Q 4 π ϵ 0 ∫ ∞ r d r r 2

V r = Q 4 π ϵ 0 1 r ∞ r

V r = 1 4 π ϵ 0 Q r

- r < R

Novamente, a ideia e usar a relação:

V r = - ∫ ∞ r E → ∙ d r →

Entretanto, desde o infinito até r nós temos duas regiões distintas, que são as regiões fora e dentro da esfera. Sendo assim:

V r = V f o r a + V r d e n t r o

V r = - ∫ ∞ R E → ∙ d r → f o r a + - ∫ R r E → ∙ d r → d e n t r o

O primeiro termo nós já calculamos ali em cima, logo:

V r = 1 4 π ϵ 0 Q R - ∫ R r E → ∙ d r →

Agora só temos que saber como o campo elétrico se comporta dentro da esfera com carga uniformemente distribuída.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esse problema é clássico de Lei de Gauss, que é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Dada a geometria esférica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss:

E ∯ G   d A = Q i n t ϵ 0

E A = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t ϵ 0 A

Onde A é a área da nossa gaussiana que, pelo geometria do problema, é uma esfera, logo:

E = 1 4 π ϵ 0 Q i n t r 2

O último detalhe aqui é que, novamente, pela geometria esférica do problema, o campo elétrico estará sempre na direção radial. Sendo assim:

E → = 1 4 π ϵ 0 Q i n t r 2 r ^

A região r < a engloba apenas parte da esfera isolante de carga - Q .

O problema nos disse que a carga está uniformemente distribuída. Isso significa que podemos calcular Q i n t com uma regra de 3 simples, usando os volumes:

Q i n t Q = 4 π r 3 3 4 π R 3 3 → Q i n t Q = r 3 R 3

Q i n t = Q r 3 R 3

Assim, o campo elétrico para esta região será:

E → = 1 4 π ϵ 0 Q r 2 r 3 R 3 r ^

E → = 1 4 π ϵ 0 Q r R 3 r ^

Ok! Agora vamos voltar ao problema.

Passo 3

V r = 1 4 π ϵ 0 Q R - ∫ R r E → ∙ d r →

V r = 1 4 π ϵ 0 Q R - Q 4 π ϵ 0 R 3 ∫ R r r   d r

V r = 1 4 π ϵ 0 Q R - Q 4 π ϵ 0 R 3 r 2 2 R r

Agora é só organizar a bagunça:

V r = 1 4 π ϵ 0 Q R - Q r 2 8 π ϵ 0 R 3 + Q R 2 8 π ϵ 0 R 3

V r = 1 4 π ϵ 0 Q R - Q r 2 8 π ϵ 0 R 3 + Q 8 π ϵ 0 R

V r = 3 8 π ϵ 0 Q R - Q r 2 8 π ϵ 0 R 3

Portanto, o potencial na região r < R é dado por:

V r = Q 8 π ϵ 0 R 3 - r 2 R 2

Passo 4

b ) Qual é a diferença de potencial entre um ponto da superfície da esfera, V R e o potencial no centro da mesma V 0 ?

Superfície da esfera:

V R = Q 8 π ϵ 0 R 3 - R 2 R 2

V R = Q 8 π ϵ 0 R 3 - 1 = 2 Q 8 π ϵ 0 R

V R = Q 4 π ϵ 0 R

No centro da esfera:

V 0 = Q 8 π ϵ 0 R 3 - 0 2 R 2

V 0 = 3 Q 8 π ϵ 0 R

Assim, a diferença de potencial será:

V 0 - V R = 3 Q 8 π ϵ 0 R - Q 4 π ϵ 0 R

V 0 - V R = Q 8 π ϵ 0 R

Passo 5

c ) Obter a componente E x do campo elétrico para r > R e r < R ;

Por definição:

E x = - ∂ V ∂ x

O problema já nos disse que:

r → = x i ^ + y   j ^ + z k ^

Logo:

r = x 2 + y 2 + z 2

Agora sim!

- r > R

V r = 1 4 π ϵ 0 Q r

V x , y , z = 1 4 π ϵ 0 Q x 2 + y 2 + z 2

Assim, o campo elétrico na direção x , E x , será:

E x = - ∂ ∂ x 1 4 π ϵ 0 Q x 2 + y 2 + z 2

E x = - Q 4 π ϵ 0 ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 + z 2

E x = Q 4 π ϵ 0 x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

- r < R

V r = Q 8 π ϵ 0 R 3 - r 2 R 2

V x , y , z = Q 8 π ϵ 0 R 3 - x 2 + y 2 + z 2 2 R 2

V x , y , z = Q 8 π ϵ 0 R 3 - x 2 + y 2 + z 2 R 2

Assim, o campo elétrico na direção x , E x , será:

E x = - ∂ ∂ x Q 8 π ϵ 0 R 3 - x 2 + y 2 + z 2 R 2

E x = - Q 8 π ϵ 0 R   ∂ ∂ x 3 - x 2 + y 2 + z 2 R 2

E x = Q 8 π ϵ 0 R 3   2 x

E x = Q x 4 π ϵ 0 R 3

Resposta

a )

  • r > R
  • V r = 1 4 π ϵ 0 Q r

  • r < R
  • V r = Q 8 π ϵ 0 R 3 - r 2 R 2

    b )

    V 0 - V R = Q 8 π ϵ 0 R

    c )

  • r > R
  • E x = Q 4 π ϵ 0 x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

  • r < R

E x = Q x 4 π ϵ 0 R 3

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