Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

UFRJ- Física 3 – P1 2018.2 - DIURNO – DISCURSIVA 2

Um semianel fino, de raio R é posicionado sobre os dois primeiros quadrantes do plano X Y de um sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem, como indicado na figura abaixo. Ele está carregado com uma densidade linear de carga não-uniforme dada por λ θ = λ 0 sen ⁡ θ , onde λ 0 é uma constante positiva e θ é o ângulo polar, medido a partir do eixo X .

  1. Determine a carga total contida no semianel.
  2. Determine o potencial elétrico produzido pelo semianel em seu centro, considerando que o potencial é nulo em pontos infinitamente afastados do centro.
  3. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) produzido pelo semianel no mesmo ponto.

Passo 1

a) A primeira coisa aqui é escrevermos o elemento de carga como d q = λ ( θ ) d l = λ ( θ ) ( R d θ ) . Com isso, a carga total é obtida quando integrando sobre todo o semicírculo

Q = ∫ 0 π d q = λ 0 R ∫ 0 π sen ⁡ ( θ ) d θ     ⇒     Q = 2 λ 0 R   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) O potencial elétrico produzido por d q no centro do semicírculo é

d V = 1 4 π ε 0 d q R = 1 4 π ε 0 λ θ R d θ R   .

Integrando essa expressão

V = 1 4 π ε 0 λ 0 ∫ 0 π sen ⁡ ( θ ) d θ     ⇒     V = λ 0 2 π ε 0   .

Passo 3

c) Para o cálculo do campo elétrico, vamos considerar a figura abaixo, em que temos dois elementos infinitesimais de carga d q e d q ’ simétricos, nas posições em que os ângulos são θ e π - θ , respectivamente.

Como a distribuição de cargas depende da função seno, então os dois elementos de carga têm o mesmo módulo, já que sen ⁡ θ = sen ⁡ ( π - θ ) e, consequentemente, produzem um campo elétrico no centro do semicírculo que tem o mesmo módulo | d E → | = d E → ' = d E → dado por

d E → = d q 4 π ε 0 R 2   .

Por simetria, como esses campos têm o mesmo módulo, vemos que o campo resultante não terá componente ao longo da direção x e podemos apenas olhar para as suas componentes ao longo de y . Com isso, o vetor campo infinitesimal resultante pode ser escrito como

d E → R = d E → cos ⁡ 90 ˚ - θ - y ^ .

Como cos ⁡ 90 ˚ - θ = sen ⁡ ( θ ) e d q = λ 0 sen ⁡ θ R d θ , teremos

d E → R = λ 0 sen 2 ⁡ θ R d θ 4 π ε 0 R 2 - y ^   .

Integrando, vamos obter que:

E → R = λ 0 4 π ε 0 R   ∫ 0 π s e n 2 θ d θ - y ^   ⇒   E → R = λ 0 4 π ε 0 R π 2 - y ^   ,

ou,

E → R = λ 0 8 ε 0 R - y ^   .

Resposta

  1. Q = 2 λ 0 R   ;
  2. V = λ 0 2 π ε 0   ;
  3. E → R = λ 0 8 ε 0 R - y ^   .

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