Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

UFRJ, Física 3, P1 - 2011.1, Questão ME02

Qual dos gráficos abaixo melhor representa o potencial eletrostático de uma esfera de raio R e carga Q > 0 uniformemente distribuída em todo o seu interior, supondo o potencial zero no infinito?

Passo 1

Como os gráficos são diferentes somente na parte interior à esfera ( r < R ) vamos estudar essa parte somente. A fórmula que precisamos para calcular o potencial eletrostático é a seguinte:

V b - V ( a ) = - a b E d r

Ok, para poder utilizar ela, precisamos da fórmula do campo elétrico dentro da esfera, coisa que nós não temos. Vamos descobrir pela Lei de Gauss. Como não é discursiva não precisamos justificar nada, portanto:

E = Q i n t A ϵ 0 r ^

Onde A é a área da Gaussiana e Q i n t é a carga interna à ela.

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Passo 2

Portanto, vamos calcular essa carga interna pela integral, como sempre fazemos:

Q i n t = 0 r ρ d V

Q i n t = ρ 0 r d V

A integral do volume vai ser o volume de uma esfera de raio r

Q i n t = ρ 4 3 π r 3

Substituindo a densidade de carga, que é constante:

Q i n t = Q 4 3 π R 3 × 4 3 π r 3

Q i n t = Q r 3 R 3

Passo 3

Substituindo tudo:

E = Q r 3 ( 4 π r 2 ) R 3 ϵ 0 r ^

E = Q r 4 π ϵ 0 R 3 r ^

Agora podemos integrar essa beleza aí, partindo da superfície da esfera ( r = R ) e indo para um ponto dentro dela ( r < R ) .

V r - V R = - R r Q r 4 π ϵ 0 R 3 d r

V r - V R = - Q 4 π ϵ 0 R 3 R r r d r

Passo 4

Para não confundir, vamos chamar essa bagunça constante toda de γ , então segue que:

V r - V R = - Q 4 π ϵ 0 R 3 r 2 2 R r

V r - V R = - Q 8 π ϵ 0 R 3 r 2 - R 2 = Q 8 π ϵ 0 R 3 R 2 - r 2

OK, chegamos à seguinte coisa:

V r = V R + Q 8 π ϵ 0 R 3 R 2 - r 2

V r = V R + Q 8 π ϵ 0 R - Q 8 π ϵ 0 R 3 r 2

A única coisa que precisamos fazer agora é identificar qual tipo de curva essa é. Ora bolas, é uma parábola, do tipo:

f r = a - b r 2

Ou seja, com a concavidade voltada para baixo.

Temos duas opções assim: a e f! Pra tirar essa dúvida vamos ver o potencial na origem

V 0 = V R + Q 8 π ϵ 0 R

Ou seja, V ( 0 ) é maior que V ( R ) . Agora matamos! A única opção que obedece isso é a letra a!

Resposta

Letra a

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