Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Campo Elétrico, Potencial Elétrico

Dois anéis finos concêntricos de raios R e R ' = 3 R , encontram-se no plano x y . O centro dos anéis coincide com a origem do sistema de coordenadas, conforme a figura. O anel de raio R possui carga total Q e o anel de raio R ' possui carga total Q ' , ambas uniformemente distribuídas.

a ) Calcule o potencial produzido por cada anel sobre o eixo z .

b ) Determine qual deve ser a carga Q ' no anel de raio R ' para que ele produza no ponto P do eixo z , que está a uma distância D = 2 R da origem, o mesmo potencial eletrostático do anel de raio R .

c ) A partir do potencial, calcule o vetor campo elétrico E → em P , em termos de Q e R .

Passo 1

a ) Calcule o potencial produzido por cada anel sobre o eixo z .

Vamos começar calculando o potencial d V de um elemento de carga d q , que será dado por:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

Onde r é a distância entre o elemento de carga d q e um ponto no eixo z . Mas se o eixo z é o eixo de simetria do anel, você consegue ver que, para qualquer elemento d q do anel, a distância para um determinado ponto no eixo z será sempre a mesma?

No caso do anel de raio R :

r = R 2 + z 2

Substituindo na expressão de d V , teremos:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q R 2 + z 2

Integrando dos dois lados, teremos o seguinte:

∫ d V = 1 4 π ϵ 0 1 R 2 + z 2 ∫ d q

V z = 1 4 π ϵ 0 Q R 2 + z 2

Para o anel de raio R ' , o resultado será semelhante, as únicas diferenças são a carga do anel e o raio. Assim, o potencial V ' do anel de raio R ' será:

V ' z = 1 4 π ϵ 0 Q ' R ' 2 + z 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Determine qual deve ser a carga Q ' no anel de raio R ' para que ele produza no ponto P do eixo z , que está a uma distância D = 2 R da origem, o mesmo potencial eletrostático do anel de raio R .

O ponto P fica a uma distância z = 2 R da origem. Além disso, o enunciado nos disse que R ' = 3 R .

Então a única coisa que temos que fazer é substituir esses valores e igualar V e V ' .

V = V '

1 4 π ϵ 0 Q R 2 + z 2 = 1 4 π ϵ 0 Q ' R ' 2 + z 2

Logo de cara já podemos simplificar essa expressão:

Q R 2 + z 2 = Q ' R ' 2 + z 2

Q ' = Q R ' 2 + z 2 R 2 + z 2

Agora é só usar z = 2 R e R ' = 3 R .

Q ' = Q 3 R 2 + 2 R 2 R 2 + 2 R 2

Q ' = Q 9 R 2 + 4 R 2 R 2 + 4 R 2 = Q 13 R 2 5 R 2

Finalmente:

Q ' = 13 5 Q

Passo 3

c ) A partir do potencial, calcule o vetor campo elétrico E → em P , em termos de Q e R .

Bom, a primeira coisa aqui é explorar a geometria do problema. Pegando dois pontos opostos do mesmo anel, vamos ver o que acontece com o campo elétrico.

Consegue ver que as componentes perpendiculares ao eixo z vão se anular e somente as componentes paralelas a z vão se somar? Isso significa que o campo resultante estará apenas no eixo z .

Por definição, o campo elétrico e o potencial elétrico estão relacionados por:

E = - ∂ V R ∂ z

Onde o potencial resultante V R é a soma dos potenciais dos dois anéis:

E = - ∂ ∂ z   1 4 π ϵ 0 Q R 2 + z 2 + 1 4 π ϵ 0 Q ' R ' 2 + z 2

E = - 1 4 π ϵ 0 ∂ ∂ z Q R 2 + z 2 + Q ' R ' 2 + z 2

E = - 1 4 π ϵ 0 - Q z R 2 + z 2 3 2 - Q ' z R ' 2 + z 2 3 2

E = 1 4 π ϵ 0 Q z R 2 + z 2 3 2 + Q ' z R ' 2 + z 2 3 2

Pra conseguirmos continuar trabalhando aqui, temos que usar as relações entre R ' e R e Q ' e Q .

Passo 4

R ' = 3 R

Q ' = 13 5 Q

Além disso, no ponto P , z = 2 R .

Substituindo na expressão de E , teremos:

E = 1 4 π ϵ 0 2 R Q R 2 + 2 R 2 3 2 + 2 R 13 5 Q 3 R 2 + 2 R 2 3 2

Agora é manter a calma e ir arrumando a bagunça:

E = 1 4 π ϵ 0 2 R Q 5 R 2 3 2 + 2 R 13 5 Q 13 R 2 3 2

E = 1 4 π ϵ 0 2 R Q 5 R 3 5 + 2 R 13 5 Q 13 R 3 13

E = 1 4 π ϵ 0 2 Q 5 R 2 5 + 2 Q 13 R 2 5

E = 2 Q 4 5 π ϵ 0 R 2 1 5 + 1 13

E = Q 2 5 π ϵ 0 R 2 1 5 + 1 13

Como falamos no passo anterior:

E → = E   z ^

E → = Q 2 5 π ϵ 0 R 2 1 5 + 1 13 z ^

Resposta

a )

V z = 1 4 π ϵ 0 Q R 2 + z 2

V ' z = 1 4 π ϵ 0 Q ' R ' 2 + z 2

b )

Q ' = 13 5 Q

c )

E → = Q 2 5 π ϵ 0 R 2 1 5 + 1 13 z ^

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