Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Potencial Elétrico

Um fio de comprimento 2 L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga – λ , onde λ é uma constante positiva.

  1. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto P situado a uma distância x do fio, na direção perpendicular a partir de seu ponto médio.
  2. Obtenha o potencial elétrico no ponto P supracitado.
  3. Mesmo para grandes distâncias ( x ≫ L ) o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento do campo elétrico, como função de x , nessa aproximação? Interprete seu resultado

Passo 1

Velha questão de integrar o campo da barra. Como o campo vai ter duas componentes, vamos utilizar um argumento de simetria para não ter que calcular uma delas. Fazendo um esboço do campo em pontos simetricamente opostos:

Desse esboço podemos concluir que a componente x do campo elétrico em P é zero, ao passo que a componente y é o dobro de cada uma das barras:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora estabelecemos a expressão do campo de uma carga puntiforme:

d E → = k d q r 2 r ^

E a questão se resumo à integrar esse campo em toda a barra:

E → = k ∫ C   d q r 2 r ^

Agora partiu decompor o campo pra podermos seguir com a questão, sendo que à partir desse momento não precisamos nos preocupar com a componente x e nem com a barra debaixo, pois é só dobrar o campo. Fazendo pra y :

sen ⁡ θ = y r

Pela semelhança de triângulos:

Passo 3

Já colocamos o sinal de menos para definir a orientação, pois sabemos que em y o campo aponta pra baixo:

d E y = - d E sen ⁡ θ

Substituindo o valor do seno:

d E y = - y r d E

d E y = - y r k   d q r 2

Então temos a integral:

E y = - k ∫ - L L y d q r 3

Como o campo é o dobro de uma barra só:

E y = - 2 k ∫ 0 L y d q r 3

Passo 4

Trocando o diferencial de carga com a definição da densidade:

λ = d q d y → d q = λ d y

E substituindo a distância r :

r = x 2 + y 2

Temos:

E y = - 2 k ∫ 0 L y λ d y x 2 + y 2 3 2

Arrumando:

E y = - 2 k λ ∫ 0 L y d y x 2 + y 2 3 2

Resolvendo por substituição simples:

v = x 2 + y 2 → d v = 2 y d y

A integral indefinida fica:

I * = ∫ ( d v / 2 ) v 3 / 2

I * = 1 2 ∫ v - 3 2 d v

I * = 1 2 v - 1 2 × - 2

I * = - v - 1 2

Passo 5

Voltando para x e y :

I * = - 1 x 2 + y 2

Substituindo no campo:

E y = - 2 k λ - 1 x 2 + y 2 y = 0 y = L

E y = 2 k λ 1 x 2 + L 2 - 1 x 2

E obtemos nossa expressão:

E y = 2 k λ 1 x 2 + L 2 - 1 x

Portanto para achar o vetor basta multiplicar por j ^ :

E y → = 2 k λ 1 x 2 + L 2 - 1 x j ^

Passo 6

Agora vamos obter o potencial elétrico das duas maneiras possíveis. Primeiramente integrando o d V , temos:

d V = k d q r

V = ∫ - L L k d q r

Como são duas densidades diferentes, são duas expressões para o potencial:

V = V - λ + V λ

V = ∫ - L 0 k - λ   d y r + ∫ 0 L k λ   d y r

Arrumando:

V = k - λ ∫ - L 0 d y r + λ ∫ 0 L d y r

Como é o caso da distância de y = L pro ponto P ser a mesma de y = - L , a função r é par, logo:

∫ - L 0 d y r = ∫ 0 L d y r

V = k λ - ∫ - L 0 d y r + ∫ 0 L d y r

V = k λ - ∫ 0 L d y r + ∫ 0 L d y r

V = k λ × 0

V = 0

Ou seja, em qualquer ponto do eixo O x teremos potencial zero. Se fosse o caso de existir uma barra só ao invés de duas, teríamos a integral:

k λ ∫ 0 L d y r = k λ ∫ 0 L d y x 2 + y 2

Que é uma integral medonha que resulta em:

k λ ln ⁡ x 2 + y 2 a + y a 0 L  

Reze pra não cair na sua prova.

Passo 7

Alternativamente, outro jeito um pouco mais fácil de resolver é pela fórmula da diferença de potencial:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Escolhendo um caminho C ao longo de O x partindo do infinito temos:

d r → = d x   - i ^

Note que se partir do infinito o vetor aponta da direita pra esquerda, por isso o - i ^

Ao passo que o campo é:

E → = E y j ^

Logo:

V r - V ∞ = - ∫ C E y j ^ ∙ d x   - i ^

Agora cuidado, o mais importante é você resolver o produto escalar primeiro. Pra sair do produto escalar os módulos não são relevantes, basta analisar os vetores que dão as direções. Neste caso i ^ e j ^ :

j ^ ∙ i ^ = 0,1 ∙ 1,0

j ^ ∙ i ^ = 0 × 1 + 1 × 0

j ^ ∙ i ^ = 0

Logo, esse produto escalar zera tudo:

V r - 0 = - ∫ C 0 × d x

V r = 0

Show? = ]

Passo 8

Finalmente vamos brincar de Séries de Taylor. Zoeira esta questão, porque eles não deram a fórmula:

1 + ϵ α ≈ 1 + α ϵ

ϵ ≪ 1

Ou seja, se ϵ for muito menor que 1 é válida a aproximação acima. Agora temos que manipular os dados pra poder substituir essa fórmula aí. O enunciado nos dá:

x ≫ L

Ou seja, dividindo por x em ambos os lados vamos tentar forçar algo parecido com ϵ ≪ 1 :

L x ≪ 1

Passo 9

Agora manipulamos a equação do campo:

E y = 2 k λ 1 x 2 + L 2 - 1 x

Dentro da raiz vamos forçar aparecer o L / x :

x 2 + L 2 = x 2 1 + L 2 x 2

x 2 + L 2 = x 1 + L 2 x 2

Passo 10

Substituímos e colocamos o módulo de x em evidência:

E y = 2 k λ 1 x 1 + L 2 / x 2 - 1 x

E y = 2 k λ x 1 1 + L 2 / x 2 - 1

Agora vamos usar a aproximação do Taylor sendo ϵ = L 2 / x 2 , pois temos que:

x 2 = x 2

1 1 + L 2 / x 2 = 1 + L 2 x 2 - 1 2

1 1 + L 2 / x 2 ≈ 1 + - 1 2 L 2 x 2

1 1 + L 2 / x 2 ≈ 1 - L 2 2 x 2

Passo 11

Substituindo de volta:

E y = 2 k λ x 1 - L 2 2 x 2 - 1

E y = - k λ L 2 x x 2

Se tratarmos de x > 0 somente:

E y → = - k λ L 2 x 3 j ^

E é isso aí. Faltou analisar. E aí, como faz? Bom, a análise do gabarito está muito além do que uma pessoa normal conseguiria fazer sozinha. O macete neste caso é olhar por alto a configuração das cargas e ver com o que essa coisa é mais parecida.

São duas barras de mesmo comprimento e com cargas opostas, logo o que mais se assemelha com isso na nossa Fauna eletromagnética é o dipolo elétrico. Justo? Na prova você diria isto e, provavelmente, ganharia todos os pontos. Não teria sentido investigarmos além disso para a nossa análise pois é esforço demais para uma questão improvável de cair, valendo poucos pontos, e que na hora da prova você mal vai lembrar. O truque pra passar em Física III é se ater aos “grandes pontos”.

Resposta

a)

E y → = 2 k λ 1 x 2 + L 2 - 1 x j ^

b)

V r = 0

c)

E y → = - k λ L 2 x 3 j ^

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