Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Uma barra semicircular de comprimento π R é composta de três segmentos não-condutores de mesmo comprimento. O segmento do meio é eletricamente neutro e os segmentos das extremidades têm uma carga negativa - q uniformemente distribuída.

Determine:

a O vetor campo elétrico no centro do arco semicircular;

b O potencial elétrico total nesse ponto;

c A máxima velocidade que um elétron pode adquirir quando este é solto a partir do repouso no centro da barra semicircular.

Passo 1

a O vetor campo elétrico no centro do arco semicircular;

Graficamente, a ideia é a seguinte:

Pra começar, vamos explorar a simetria do problema, pegando 2 pontos (com cargas infinitesimais - d q ) simétricos nos arcos carregados negativamente e analisando o campo elétrico d E → gerado por eles no centro do arco:

Repara, que esses vetores infinitesimais de campo elétrico apontam para as barras circulares, isso acontece, pois as barras estão carregadas negativamente e geram um campo elétrico que apontam para elas.

Se decompormos os vetores d E → , veremos que as componentes horizontais irão se anular, enquanto as componentes verticais irão se somar, assim, o campo resultante no centro do arco pode ser escrito como:

E = 2 E y

Onde E y é a componente vertical do campo elétrico gerado por apenas um dos arcos no centro da semicircunferência, e esse cara que vamos encontrar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora calcular o campo E y , sabemos que ele é a componente vertical do vetor campo elétrico E → gerado por uma das barras:

E → = ∫ k d q r 2 r ^

Importante ressaltar que a componente vertical do vetor unitário r ^ aponta no sentido positivo de y , logo, o mesmo pode ser escrito como r ^ = cos ⁡ θ i ^ + sen ⁡ θ j ^ . Assim:

E y = ∫ f i o k d q sen ⁡ θ r 2

Onde 0 ≤ θ ≤ π / 3 , pois aqui estamos avaliando apenas uma das barras e a barra faz um ângulo que vai de 0 até um terço de 180º, isso é, π / 3 .

Como a carga está uniformemente distribuída no arco, podemos utilizar o conceito de densidade linear de carga, dada por:

λ = d q d l = q π R / 3

Aqui não precisamos nos preocupar com o sinal da carga, isso já foi levado em consideração quando assumimos a direção do nosso vetor campo elétrico, agora estamos interessados em encontrar o módulo desse vetor!

Continuando...

d q = 3 q π R d l = 3 q π R R d θ

d q = 3 q π   d θ

Além disso, a distância entre qualquer ponto do arco e o centro do mesmo é R , logo r = R . Dessa forma:

E y = ∫ 0 π 3 k R 2 3 q π sen ⁡ θ d θ

E y = 3 k q π R 2 ∫ 0 π 3 sen ⁡ θ d θ = - 3 k q π R 2 cos ⁡ θ 0 π 3

E y = - 3 k q π R 2 cos ⁡ π 3 - cos ⁡ 0

E y = - 3 k q π R 2 1 2 - 1

E y = 3 k q 2 π R 2

Assim, o campo resultante será:

E → = 2 E y j ^ = 2 3 k q 2 π R 2 j ^

E → = 3 k q π R 2   j ^

Passo 3

b O potencial elétrico total nesse ponto;

Vamos fazer aqui uma análise bem semelhante ao que fizemos na letra a . Como os dois arcos são iguais, os potenciais elétricos gerados pelos mesmos também serão os mesmos, dessa forma, o potencial total será:

V T = 2 V

Onde V é o potencial gerado por cada arco, dado por

V = ∫ k d q r

Fazendo as mesmas substituições que fizemos na letra a , teremos:

d q = - 3 q π   d θ

0 ≤ θ ≤ π / 3

r = R

Assim:

V = ∫ 0 π 3 k R - 3 q π   d θ = - 3 k q π R ∫ 0 π 3 d θ

V = - 3 k q π R θ 0 π 3 = - 3 k q π R π 3 - 0

V = - k q R

Finalmente, o potencial elétrico total será:

V T = 2 V = - 2 k q R

Passo 4

c A máxima velocidade que um elétron pode adquirir quando este é solto a partir do repouso no centro da barra semicircular.

A máxima velocidade que o elétron pode adquirir será dada se toda a energia potencial elétrica no centro da semicircunferência for convertida em energia cinética, logo:

U = K

- e V T = 1 2 m v 2

- e - 2 k q R = 1 2 m v 2

2 k q e R = 1 2 m v 2

v = 4 k q e m R

Resposta

a

E → = 3 k q π R 2   j ^

b

V T = 2 k q R

c

v = 4 k q e m R

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