Um bastão de comprimento L , eletrizado com densidade de carga não uniforme λ = λ 0 x / L está disposto ao longo do eixo x .

a ) Determine o potencial eletrostático devido ao bastão para um ponto P = x , 0,0 sobre o eixo x com coordenada x > L . Adote o potencial nulo no infinito.

b ) Determine o vetor força F → de interação eletrostática sobre uma carga pontual q em P = 2 L , 0,0 .

Passo 1

a ) Determine o potencial eletrostático devido ao bastão para um ponto P = x , 0,0 sobre o eixo x com coordenada x > L . Adote o potencial nulo no infinito.

O primeiro passo aqui é escrever a expressão do potencial elétrico d V gerado por um pedaço infinitesimal do bastão, de carga d q .

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

Onde:

d q = λ   d x '

d q = λ 0 x ' L d x '

Obs.: Como o problema diz que o ponto P está na posição x , 0,0 , vamos chamar a coordenada acima de x ' pra não nos confundirmos, beleza?

Onde 0 < x ' < L . Assim, para determinar a expressão de V , basta integrar a expressão de d V :

V = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 L d q r = λ 0 4 π ϵ 0 L ∫ 0 L x ' r   d x '

Antes de continuar com os cálculos, vamos analisar graficamente x ' e r pra não nos confundirmos aqui, ok?

Daqui podemos tirar que:

r = x - x '

Logo:

V = λ 0 4 π ϵ 0 L ∫ 0 L x ' x - x '   d x '

Pode ser que você se enrole um pouco pra resolver essa integral. Antes que isso ocorra, dê uma olhada no formulário da sua prova... em muitos casos, as respostas de integrais que vão cair na prova estão lá.

V = λ 0 4 π ϵ 0 L x - x ' - x ln ⁡ x - x ' 0 L

Finalmente:

V x , 0,0 = - λ 0 4 π ϵ 0 1 + x L ln ⁡ x - L - ln ⁡ x

Passo 2

b ) Determine o vetor força F → de interação eletrostática sobre uma carga pontual q em P = 2 L , 0,0 .

A força eletrostática sobre uma carga q é dada por:

F → = q E →

Então, a primeira coisa que temos que fazer é determinar o campo elétrico a partir do potencial que nós calculamos no item anterior.

O potencial e o campo elétrico estão relacionados por:

E x x , 0,0 = - ∂ V x , 0,0 ∂ x

E x x , 0,0 = λ 0 4 π ϵ 0 1 L ln ⁡ x - L - ln ⁡ x + x L 1 x - L - 1 x

E x x , 0,0 = λ 0 4 π ϵ 0 L ln ⁡ x - L x + x L x x - L

Como a carga está no ponto P = 2 L , 0,0 , basta jogar x = 2 L na equação acima pra encontrar a expressão do campo elétrico no ponto P .

E x 2 L , 0,0 = λ 0 4 π ϵ 0 L ln ⁡ 2 L - L 2 L + 2 L L 2 L 2 L - L

E x 2 L , 0,0 = λ 0 4 π ϵ 0 L ln ⁡ 1 2 + 1

E x 2 L , 0,0 = λ 0 4 π ϵ 0 L 1 - ln ⁡ 2

Finalmente, a força eletrostática sobre a carga q será:

F → = q E x 2 L , 0,0 i →

F → = λ 0 q 4 π ϵ 0 L 1 - ln ⁡ 2 i →

Resposta

a )

V = - λ 0 4 π ϵ 0 1 + x L ln ⁡ x - L - ln ⁡ x

b )

F → = λ 0 q 4 π ϵ 0 L 1 - ln ⁡ 2 i →

Exercícios de Livros Relacionados

Uma barra de plástico tem a forma de um circunferência de raio R = 8,20 cm. A barra possui uma carga Q 1 = +4,20 pC uniformemente distribuída ao longo de um quarto de circunferência e uma carga Q 2 =
A Fig. abaixo mostra uma barra fina de plástico que coincide com o eixo x. A barra tem um comprimento L = 12,0 cm e uma carga positiva uniforme Q = 56,1 fC uniformemente distribuída. Com V= 0 no infin
O rosto sorridente da Fig. Abaixo é formado por três elementos: 1: Uma barra fina com uma carga de -3,0μ C e a forma de uma circunferência completa com 6,0c m de raio; 2: Uma segunda barra fina com um
Qual é o módulo do campo elétrico no ponto 3,00 i ^ - 2,00 j ^ + 4,00 k ^ m se o potencial elétrico é dado por V = 2 x y z 2 , em que V está em volts e x, y e z estão em metros?
Um elétron é colocado no plano xy, onde o potencial elétrico varia com x e y de acordo com os gráficos da figura abaixo (o potencial não depende de z) . Em termos dos vetores unitários, qual é a força