Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

UNICAMP, Física 3, Exame - 2009.1 Diurno, Questão 1

Uma carga puntiforme - Q está no centro de uma fina casca esférica condutora de raio a , carregada com carga + 3 Q .

Justaposta a esta casca encontra-se uma camada de material dielétrico de constante dielétrica κ , tendo raio externo b .

a ) Encontra o vetor campo elétrico E r para r < a , a < r < b , r > b ;

b ) Calcule a ddp V b - V a ;

c ) Tomando V = 0 , calcule V r para r > b .

Passo 1

a ) Encontra o vetor campo elétrico E r para r < a , a < r < b , r > b ;

O campo elétrico é calculado através da lei de Gauss, dada por:

G   E d A = Q i n t ϵ 0

Para esse tipo de simetria, podemos simplificar a lei de Gauss e escrevê-la da seguinte forma:

4 π r 2 E = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π r 2 ϵ 0

Onde a gaussiana será uma esfera de raio r , que engloba a carga Q i n t .

Como o problema possui simetria esférica, o campo elétrico será radial, logo:

E = Q i n t 4 π r 2 ϵ 0 r ^

Então, o nosso trabalho agora é calcular a carga interna em cada região, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-
  • r < a :
  • Essa região engloba somente a carga pontual - Q , logo:

    Q i n t = - Q

    E = - Q 4 π r 2 ϵ 0 r ^

  • a < r < b :
  • Essa região engloba a carga pontual e a casca esférica, logo:

    Q i n t = - Q + 3 Q

    Q i n t = 2 Q

    Um detalhe que você tem que ficar esperto é que, como essa região está no interior do material dielétrico, ao invés de usarmos ϵ 0 , usaremos ϵ , onde:

    ϵ = κ ϵ 0

    Substituindo esses caras na expressão de E , teremos:

    E = 2 Q 4 π r 2 κ ϵ 0 r ^

    E = Q 2 π r 2 κ ϵ 0 r ^

  • r > b :
  • Essa região engloba todo o sistema, logo:

    Q i n t = - Q + 3 Q

    Q i n t = 2 Q

    Sendo assim:

    E = Q 2 π r 2 ϵ 0 r ^

    Passo 3

    b ) Calcule a ddp V b - V a ;

    Na letra a nós vimos que, na região no interior do material dielétrico a < r < b , o campo elétrico é dado por:

    E = Q 2 π r 2 κ ϵ 0 r ^

    O campo elétrico e o potencial estão associados por:

    Δ V = - C E d r

    Logo:

    Δ V = - a b Q 2 π r 2 κ ϵ 0 d r = - Q 2 π κ ϵ 0 a b d r r 2

    Δ V = - Q 2 π κ ϵ 0 - 1 r a b

    Δ V = Q 2 π κ ϵ 0 1 b - 1 a

    Δ V = Q 2 π κ ϵ 0 a - b a b

    V b - V a = Q 2 π κ ϵ 0 a - b a b

    Passo 4

    c ) Tomando V = 0 , calcule V r para r > b .

    Aqui o princípio é o mesmo da letra b . Na região r > b , vimos que o campo elétrico é dado por:

    E = Q 2 π r 2 ϵ 0 r ^

    Assim, o potencial será dado por:

    V r - V = - r Q 2 π r 2 ϵ 0 d r

    V r - 0 = - Q 2 π ϵ 0 r d r r 2

    V r = - Q 2 π ϵ 0 - 1 r r

    V r = Q 2 π ϵ 0 1 r - 0

    V r = Q 2 π r ϵ 0

    Resposta

    a )

  • r < a :
  • E = - Q 4 π r 2 ϵ 0 r ^

  • a < r < b :
  • E = Q 2 π r 2 κ ϵ 0 r ^

  • r > b :

E = Q 2 π r 2 ϵ 0 r ^

b )

V b - V a = Q 2 π κ ϵ 0 a - b a b

c )

V r = Q 2 π r ϵ 0

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