Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Potencial Elétrico, Forças Elétricas

Uma carga total Q está distribuída por duas esferas metálicas de raios R 1 e R 2 , que estão ligadas por um fio condutor muito longo de comprimento L , sendo L ≫ R 1 e L ≫ R 2 .

Determine:

  1. A carga sobre cada esfera;
  2. O potencial das esferas em função de Q ;
  3. A força de tração do fio;

Passo 1

  1. A carga sobre cada esfera;
  2. Ok! As duas esferas estão conectadas pelo fio longo de comprimento L . No equilíbrio eletrostático, o potencial das duas esferas tem que ser iguais, para que não haja corrente através do fio condutor.

    Se os potenciais são iguais, logo:

    V 1 = V 2

    1 4 π ϵ 0 Q 1 R 1 = 1 4 π ϵ 0 Q 2 R 2

    Q 1 R 1 = Q 2 R 2

    Q 1 = Q 2 R 1 R 2

    O problema falou que a carga total é Q , isso quer dizer que:

    Q = Q 1 + Q 2

    Q 1 = Q - Q 2

    Substituindo de volta para a expressão ali em cima:

    Q - Q 2 = Q 2 R 1 R 2

    Q = Q 2 1 + R 1 R 2

    Q = Q 2 R 1 + R 2 R 2

    Q 2 = Q R 1 + R 2 R 2

    Q 2 = Q R 2 R 1 + R 2

    Passo 2

    Se fizermos o caminho agora pra Q 1 , vai acontecer o seguinte:

    Q 2 = Q 1 R 2 R 1

    Q - Q 1 = Q 1 R 2 R 1

    Q = Q 1 1 + R 2 R 1

    Q = Q 1 R 1 + R 2 R 1

    Q 1 = Q R 1 R 1 + R 2

    Passo 3

  3. O potencial das esferas em função de Q ;
  4. Como já falamos na letra (a), as duas esferas possuem o mesmo potencial, logo:

    V 1 = 1 4 π ϵ 0 Q 1 R 1

    V 1 = 1 4 π ϵ 0 Q R 1 R 1 + R 2 R 1

    V 1 = 1 4 π ϵ 0 Q R 1 + R 2

    Fazendo o mesmo para V 2 :

    V 2 = 1 4 π ϵ 0 Q 2 R 2

    V 2 = 1 4 π ϵ 0 Q R 2 R 1 + R 2 R 2

    V 2 = 1 4 π ϵ 0 Q R 1 + R 2

    Logo, como já havíamos previsto:

    V 1 = V 2 = 1 4 π ϵ 0 Q R 1 + R 2

    Passo 4

  5. A força de tração do fio;

A tração no fio que liga as suas esferas deve ser igual à força de repulsão entre as duas esferas.

A força elétrica será dada por:

F = 1 4 π ϵ 0 Q 1 Q 2 r 2

Onde r é a distância entre as duas esferas, logo r = L + R 1 + R 2 . Mas o problema nos diz que L ≫ R 1 e L ≫ R 2 . Isso significa que podemos dizer que:

r ≅ L

Logo:

F = 1 4 π ϵ 0 Q 1 Q 2 L 2

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Resposta

a.

Q 1 = Q R 1 R 1 + R 2

Q 2 = Q R 2 R 1 + R 2

b.

V 1 = V 2 = 1 4 π ϵ 0 Q R 1 + R 2

c.

F = 1 4 π ϵ 0 Q 1 Q 2 L 2

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