Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Puc - Física 3 – P1 2018.1 - 3

Considere a coroa circular da figura 1, raio interno R 1 e raio externo R 2 , com densidade superficial de carga não uniforme dada pela função σ r = α / r , onde α é uma constante positiva e r é a distância a partir do centro. Considere também o ponto P no eixo da coroa, à altura z do centro. A figura 2 mostra um anel de raio R e carga total Q . Sabe-se que o potencial geral em P pelo anel é dado por V a n e l = k Q z 2 + R 2   .

a) Adaptando o resultado do potencial do anel, utilize a relação V c o r o a = ∫ d V a n e l para encontrar o potencial V c o r o a gerado pela coroa circular em P .

Suponha, agora, que uma carga pontual q 0 , inicialmente em repouso no ponto P , é solta e cruze a origem ( z = 0 ) , submetida à força elétrica (desconsidere, portanto, a força de gravidade).

b) Para que isso aconteça, que sinal deve ter a carga q 0 e qual será a sua energia cinética final K f ao cruzar a origem?

Desconsidere, agora, a carga q 0 e suponha que o potencial geral pela coroa circular em P tenha o seguinte valor: V c o r o a = 9   V . Imagine uma casca esférica isolante de espessura infinitesimal seja colocada envolvendo toda a coroa circular R c a s c a > R 2 e também o ponto P . A casca esférica possui uma carga q c a s c a = - 0,5   n C uniformemente distribuída em sua superfície.

c) Calcule que raio R c a s c a a casca esférica deve ter para que o potencial total em P seja nulo. (Considere k = 9   ×   10 9   N m 2 / C 2 ).

Passo 1

a)

V c o r o a = ∫ d V a n e l = ∫ R 1 R 2 k σ 2 π r d r z 2 + r 2 = ∫ R 1 R 2 k α r   2 π r d r z 2 + r 2 = 2 π α k ∫ R 1 R 2 d r z 2 + r 2   .

Utilizando a integral fornecida na capa da prova, ficamos com:

V c o r o a = 2 π α k ln ⁡ r + z 2 + r 2 z R 1 R 2   ⇒ V c o r o a = 2 π α k ln ⁡ R 2 + z 2 + R 2 2 R 1 + z 2 + R 1 2     .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

  1. Como a carga da coroa é positiva, uma carga q 0 só pode se aproximar dela se for negativa.
  2. Como só existe a força elétrica, o sistema é conservativo. Logo:

Δ K + Δ U = 0 ⇒ Δ K = - Δ U = - q 0 Δ V ⇒ K f - K i = - q 0 V f - V i .

Utilizando a expressão que encontramos no item anterior para o potencial, chegamos a

K - 0 = - q 0 2 π α k ln ⁡ R 2 + 0 2 + R 2 2 R 1 + 0 2 + R 1 2 - 2 π α k ln ⁡ R 2 + z 2 + R 2 2 R 1 + z 2 + R 1 2

que resulta em

K = - 2 π α k q 0 ln ⁡ 2 R 2 2 R 1 - ln ⁡ R 2 + z 2 + R 2 2 R 1 + z 2 + R 1 2 .  

Simplificando

K = - 2 π α k q 0 ln ⁡ R 2 R 1 R 1 + z 2 + R 1 2 R 2 + z 2 + R 2 2     .

Passo 3

c) O potencial em todos os pontos no interior de uma casca uniformemente carregada é constante e vale

V c a s c a = k q c a s c a R c a s c a   .

Como precisamos anular o potencial de + 9   V gerado pela coroa, é preciso que:

V c a s c a = - 9   V ⇒ k q c a s c a R c a s c a = - 9 ⇒ 9   ×   10 9 - 0,5   ×   10 - 9 R c a s c a = - 9 ⇒ R c a s c a = 0,5   m   .

Resposta

  1. V c o r o a = 2 π α k ln ⁡ R 2 + z 2 + R 2 2 R 1 + z 2 + R 1 2     ;
  2. K = - 2 π α k q 0 ln ⁡ R 2 R 1 R 1 + z 2 + R 1 2 R 2 + z 2 + R 2 2     ;
  3. R c a s c a = 0,5   m   .

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