Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

USP, Física 3, P1 - 2019, Questão Q3

Dois anéis finos concêntricos de raios R e R 0 , encontram-se no plano x y . O centro dos anéis coincide com a origem do sistema de coordenadas, conforme a figura. O anel de raio R possui carga total Q e o anel de raio R 0   possui carga total Q 0 , ambas uniformemente distribuídas.

(a) Calcule o potencial produzido por cada anel ao longo do eixo z , como função de z .

(b) A partir do potencial, calcule a componente z do campo elétrico em P , em termos de Q , Q ' , R , R ' e z . Quanto valem as componentes x e y do campo elétrico? Justifique.

(c) Determine qual deve ser a carga Q 0 no anel de raio R 0 = 3 R para que ele produza no ponto P   do eixo z , que está a uma distância D = 2 R da origem, o mesmo potencial eletrostático do anel de raio R .

Passo 1

a) A distância de qualquer elemento de carga d q do anel de raio R até o eixo z vai ser a mesma, então a gente pode escrever que

V z = 1 4 π ε 0 ∫ A N E L d q r

V z = 1 4 π ε 0 r ∫ A N E L d q

V z = 1 4 π ε 0 r Q

Substituindo a distância r :

V z = 1 4 π ε 0 Q ( R 2 + z 2 ) 1 / 2

Pra calcular o potencial do anel de raio R 0 , o procedimento é o mesmo, obtendo

V ' z = 1 4 π ε 0 Q ' ( R 0 2 + z 2 ) 1 / 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Vamos perceber antes de qualquer coisa que por simetria, as componentes x e y do campo elétrico são nulas. Agora vamos calcular a componente z .

E z z = - ∂ V t o t a l ∂ z

Lembrando que V t o t a l = V z + V ' z . Logo:

E z z = 1 4 π ε 0 Q z [ R 2 + z 2 ] 3 / 2 + Q ' z [ R 0 2 + z 2 ] 3 / 2

Passo 3

c) Vamos igualar os potenciais obtidos na letra (a):

1 4 π ε 0 Q ( R 2 + D 2 ) 1 / 2 = 1 4 π ε 0 Q ' ( ( 3 R ) 2 + D 2 ) 1 / 2

Q ( R 2 + ( 2 R ) 2 ) 1 / 2 = Q ' ( ( 3 R ) 2 + ( 2 R ) 2 ) 1 / 2

Q ' = Q ( 9 R ² + 4 R ² ) 1 / 2 ( R 2 + 4 R ² ) 1 / 2

Q ' = Q ( 13 ) 1 / 2 R ( 5 ) 1 / 2 R

Q ' = Q 13 5 1 / 2

Resposta

  1. V z = 1 4 π ε 0 Q ( R 2 + z 2 ) 1 / 2
  2. V ' z = 1 4 π ε 0 Q ' ( R 0 2 + z 2 ) 1 / 2

  3. E z z = 1 4 π ε 0 Q z [ R 2 + z 2 ] 3 / 2 + Q ' z [ R 0 2 + z 2 ] 3 / 2
  4. O campo em x e y é nulo por simetria.

  5. Q ' = Q 13 5 1 / 2

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