Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

A figura abaixo ilustra um anel fino não condutor de raio R , com carga positiva + Q uniformemente distribuída ao longo de sua circunferência.

a Considerando que o potencial elétrico V é zero no infinito, calcule V em um ponto P que está localizado sobre o eixo de simetria do anel, a uma distância z do seu centro.

b A partir da expressão do potencial V obtida em a , calcule o valor da componente do campo elétrico na direção z .

c A expressão para V obtida em a permite calcular a componente z do campo elétrico, mas não as componentes x e y . Por quê?

d Uma partícula com carga elétrica + q 0 e massa m é lançada do infinito em direção ao anel, ao longo do seu eixo de simetria. Calcule a velocidade de lançamento mínima para que a partícula atravesse o plano do anel.

Passo 1

a Considerando que o potencial elétrico V é zero no infinito, calcule V em um ponto P que está localizado sobre o eixo de simetria do anel, a uma distância z do seu centro.

Vamos começar com o potencial elétrico d V gerado por um pedaço infinitesimal do anel, com carga d q , dado por:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

A distância r de qualquer ponto do anel ao ponto P é dada por:

r = R 2 + z 2

Assim, substituindo na expressão de d V , teremos:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q R 2 + z 2

Agora basta integrar a expressão acima:

V = 1 4 π ϵ 0 R 2 + z 2 ∫ d q

Onde a integral de d q será igual a carga do anel, logo:

V = Q 4 π ϵ 0 R 2 + z 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b A partir da expressão do potencial V obtida em a , calcule o valor da componente do campo elétrico na direção z .

A componente do campo elétrico na direção z é dada por:

E z = - d V d z

E z = - d d z Q 4 π ϵ 0 R 2 + z 2

E z = - Q 4 π ϵ 0   d d z 1 R 2 + z 2

E z = - Q 4 π ϵ 0 - z R 2 + z 2 3 2

Finalmente:

E z = Q z 4 π ϵ 0 R 2 + z 2 3 2

Passo 3

c A expressão para V obtida em a permite calcular a componente z do campo elétrico, mas não as componentes x e y . Por quê?

As componentes x e y do campo elétrico são dadas, respectivamente, por:

E x = - ∂ V ∂ x

E y = - ∂ V ∂ y

No entanto, de acordo com a expressão do potencial elétrico que encontramos no item a , o mesmo depende somente de z sobre o eixo de simetria do anel. Dessa forma, não podemos calcular as componentes x e y do campo elétrico pois o potencial elétrico independe dessas variáveis.

V = V z

Passo 4

d Uma partícula com carga elétrica + q 0 e massa m é lançada do infinito em direção ao anel, ao longo do seu eixo de simetria. Calcule a velocidade de lançamento mínima para que a partícula atravesse o plano do anel.

A energia mecânica do sistema é dada pela soma das energias potencial e cinética:

E M = U + K

A energia potencial elétrica da partícula é dada por:

U = q 0 V

Substituindo a expressão que encontramos na letra a , teremos:

U = q 0 Q 4 π ϵ 0 R 2 + z 2

Enquanto a energia cinética é dada por:

K = m v 2 2

Quando a partícula está no infinito, a energia potencial é nula, só havendo a energia cinética. Para que a partícula atravesse o plano do anel, é necessário que, ao chegar no plano do anel z = 0 , a energia cinética se anule, só havendo energia potencial.

No plano do anel, a energia potencial é dada por:

z = 0

U = q 0 Q 4 π ϵ 0 R 2 + 0 2

U = q 0 Q 4 π ϵ 0 R

Assim, fazendo o balanço de energia nesses dois casos (partícula no infinito e no plano do anel), teremos:

E M a n t e s = E M d e p o i s

0 + K a n t e s = U d e p o i s + 0

K a n t e s = U d e p o i s

m v 2 2 = q 0 Q 4 π ϵ 0 R

Organizando os termos, vamos encontrar o seguinte:

v 2 = q 0 Q 2 π ϵ 0 R m

v = q 0 Q 2 π ϵ 0 R m

Resposta

a

V = Q 4 π ϵ 0 R 2 + z 2

b

E z = Q z 4 π ϵ 0 R 2 + z 2 3 2

c

V = V z

d

v = q 0 Q 2 π ϵ 0 R m

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