Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 101-25 – Modificada

  1. A figura ( a ) a seguir mostra uma barra não-condutora de comprimento L = 6,00   m e densidade linear de cargas positiva uniforme λ = + 3,68   pC/m . Tome V = 0 no infinito.
  2. Qual é o valor de V no ponto P situado a uma distância d = 8,00   m acima do ponto médio da barra?

  3. A figura b mostra uma barra idêntica à do item a , exceto pelo fato de que a metade direta agora está carregada negativamente;

O valor absoluto da densidade linear de cargas continua a ser 3,68   pC/m em toda a barra. Com V = 0 no infinito, qual o valor de V no ponto P ?

Passo 1

  1. Qual é o valor de V no ponto P situado a uma distância d = 8,00   m acima do ponto médio da barra?
  2. Como a barra é uniformemente carregada, o procedimento aqui consiste de pegar o potencial de uma carga pontual do corpo no ponto P e integra-lo no corpo todo.

    Como essa carga é infinitesimalmente pequena se comparada ao corpo, nós montamos a integral assim:

    d V = k d q r

    V P = k d q r

    Passo 2

    É sempre bom analisar graficamente isso para poder montar a integral corretamente.

    A ideia é basicamente essa:

    Daqui podemos tirar algumas conclusões... a primeira é que r pode ser escrito como:

    r = x 2 + d 2

    Outra coisa que podemos tirar daqui é: como a barra é uniformemente carregada, nós podemos usar a densidade linear de carga pra tentar facilitar a nossa vida:

    λ = d q d x

    d q = λ d x

    Substituindo na expressão que encontramos para o potencial:

    V P = k λ - 3 3 d x x 2 + d 2

    Basicamente, a questão sobre potencial já acabou, o problema agora é resolver essa integral escrota.

    Vou colocar logo pra você a resposta dessa integral.

    V P = k λ ln d 2 + x 2 + x - 3 3

    V P = k λ ln d 2 + 9 + 3 - ln d 2 + 9 - 3

    V P = k λ ln d 2 + 9 + 3 d 2 + 9 - 3

    Onde:

    d = 8   m ;

    k = 9 × 10 9 N m 2 / C 2 ;

    λ = + 3,68   pC/m = 3,68 × 10 - 12  C/m ;

    Partiu!

    V P = 9 × 10 9 × 3,68 × 10 - 12 × ln 8 2 + 9 + 3 8 2 + 9 - 3

    V P = 24,29   mV

    Passo 3

  3. Para a figura b , qual o valor de V no ponto P ?

Bom, antes de começar a esquentar a cabeça, vamos dar uma olhada na simetria do problema.

Como metade da barra é positiva e a outra metade é negativa, vamos pegar dois pontos simétricos em relação ao centro, com cargas de módulo d q , e ver como se comporta o potencial no ponto P .

Graficamente, a ideia é basicamente essa

O potencial resultante desses dois elementos de carga, vai ser a soma dos dois potenciais. Portanto:

d V = d V + + d V -

d V = + k d q r - k d q r = 0

Eita! Se isso é verdade para quaisquer dois pontos simétricos, isso vai acontecer para toda a barra.

Portanto:

V P = 0

É razoável pensar também que, como as duas metades são iguais, mas com cargas de sinais opostos e como o potencial elétrico é uma grandeza escalar e não vetorial, as duas metades vão produzir o mesmo potencial, em módulo, no ponto P , mas de sinais opostos.

Assim, quando for somar as duas, o resultado vai ser nulo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

  1. V P = 24,29   mV ;
  2. V P = 0 ;

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas