Um fio finito muito longo de comprimento L e carregado com uma carga - Q está no eixo de um cano cilíndrico condutor descarregado de raio interno a , raio externo b e mesmo comprimento L .

a ) Que cargas aparecem nas superfícies interna e externa do cano?

b ) Utilize a Lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico E → r para r < a , a < r < b e r > b ;

c ) Calcule a diferença de potencial V a - V b ;

Passo 1

a ) Que cargas aparecem nas superfícies interna e externa do cano?

O que acontece aqui é que, quando colocamos o fio com carga - Q no interior do cano cilíndrico, o fio atrai as cargas positivas do cano para a superfície interna e repele as cargas negativas do cano para a superfície externa.

No equilíbrio eletrostático, a carga da superfície interna deve ser, necessariamente:

Q s . i n t = - - Q

Q s . i n t = + Q

Entretanto, o cano deve manter a sua carga inicial, que nesse caso é zero (já que está descarregado).

Assim, a soma das cargas da superfície interna e da superfície externa deve ser igual a zero. Logo:

Q s . i n t + Q s . e x t = 0

Q s . e x t = - Q s . i n t

Q s . e x t = - Q

Passo 2

b ) Utilize a Lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico E → r para r < a , a < r < b e r > b ;

A Lei de Gauss é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Simplificando a Lei de Gauss, teremos:

E A = Q i n t ϵ 0 → E = Q i n t A ϵ 0

Onde A é a área da nossa gaussiana, por onde passará o campo elétrico. Como se trata de uma geometria cilíndrica, a gaussiana será um cilindro de raio r e comprimento L , cuja área será dada por A = 2 π r L .

Logo:

E = Q i n t 2 π r L ϵ 0

Pra finalizar, como estamos trabalhando com geometria cilíndrica, o campo elétrico terá sempre direção radial. Assim:

E → = Q i n t 2 π r L ϵ 0 r ^

Agora, o nosso trabalho é determinar a carga interna à gaussiana para cada situação.

Passo 3

-
  • r < a
  • Essa região engloba somente o fio carregado, logo:

    Q i n t = - Q

    Assim, o campo elétrico será dado por:

    E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

  • a < r < b
  • Essa região engloba o fio carregado e a superfície interna do cano cilíndrico, logo:

    Q i n t = - Q + Q = 0

    Logo:

    E → = 0 →

  • r > b
  • Essa região engloba o fio carregado e o cano cilíndrico descarregado, logo:

    Q i n t = - Q

    Assim:

    E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

    Passo 4

    c ) Calcule a diferença de potencial V a - V b ;

    Por definição, o potencial é dado por:

    Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

    Δ V = - ∫ a b 0 d r

    Δ V = 0

    E isso poderia ser visto sem contas, notando-se que a questão pede a DDP entre dois pontos interiores a um condutor. Essa DDP deve ser nula, pois em condutores o potencial é o mesmo em todos os pontos.

    Resposta

    a )

    Q s . i n t = + Q

    Q s . e x t = - Q

    b )

  • r < a
  • E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

  • a < r < b
  • E → = 0 →

  • r > b

E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

c )

0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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