6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

a) f x = 1 2 e x + e - x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos calcular a derivada da função f x = 1 2 e x + e - x .

Como vamos fazer isso? 🤔

A derivada de uma função nos diz muitas coisas... por exemplo, com ela podemos ver se a função está crescendo ou não, ela descreve a taxa em que a função está mudando em um ponto específico. Graficamente, a derivada é a inclinação da curva em um determinado ponto.

Para derivarmos uma função, temos que analisá-la e determinar qual será a melhor maneira de obter sua derivada...

Vamos ver como derivamos a função desse problema. 😁

Passo 2

A função é dada por f x = 1 2 e x + e - x

Podemos reescrevê-la como

f x = 1 2 e x + 1 2 e - x

A derivada da soma é igual a soma das derivadas, ou seja

f ' x = d 1 2 e x d x + d 1 2 e - x d x

Podemos tirar as constantes para fora da derivada, ou seja

f ' x = 1 2 d e x d x + 1 2 d e - x d x

A derivada de e x é obtida pelo teorema fundamental do cálculo, que diz que

d e x d x = e x

Sacou? 😁

Passo 3

Agora para a derivada de e - x , temos que aplicar a regra da cadeia pois se trata de uma função composta...

Nesses casos a derivada é obtida pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja

d e - x d x = d - x d x d e u d u

Sabemos que a derivada de d e u d u = e u e a derivada de - x é obtida pelo método de derivação polinomial

d - x d x = - 1

Então a derivada de e - x será (substituindo u por - x de volta)

d e - x d x = - e - x

Substituindo esses resultados em f ' x , temos

f ' x = 1 2 d e x d x + 1 2 d e - x d x

f ' x = 1 2 e x - 1 2 e - x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = 1 2 e x - 1 2 e - x

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Verifique que y = - ln ⁡ e 2 - x satisfaz d y d x = e y = 1 e , com y = - 2 quando x=0 .
Calcule g ' x g x = ln ⁡ x
Calcule g ' x g x = log π ⁡ x
Calcule f ' x . f x = π x
Calcule f ' x . f x = 2 x