18 - Use a derivação logarítmica para determinar d y d x :

m )   f x = s e n x c o s x

Passo 1

Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nós costumamos usar essa técnica quando queremos calcular a derivada de uma função que está elevada por outra função, algo como:

y = f x g x

Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:

ln ⁡ y = ln ⁡ f x g x

E então, aplicando a propriedade do “peteleco” do logaritmo, teremos:

ln ⁡ y = g x ln ⁡ f x

Perceba que agora temos uma função implícita de y , e então aplicamos a derivação implícita, sem esquecer que no termo da direita da equação temos uma regra do produto por conta da multiplicação de g x com ln ⁡ f x e também haverá uma regra da cadeia por conta da derivada de ln ⁡ f x , o que ficará:

1 y y ' = g ' x ln ⁡ f x + g x 1 f x f ' x

O y ' nada mais é do que o d y / d x que queremos encontrar.

Passo 2

Temos nesse caso que:

y = f x = s e n x c o s x

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ ( s e n x ) cos ⁡ x

ln ⁡ y = cos ⁡ x ln ⁡ s e n x

O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!

Passo 3

1 y y ' = - s e n x ln ⁡ s e n x + cos ⁡ x 1 s e n x s e n x '

Seguindo...

1 y y ' = - s e n x ln ⁡ s e n x + cos 2 ⁡ x s e n x

Não tem muito mais o que fazer, vamos deixar o y ' isolado...

y ' = y * - s e n x ln ⁡ s e n x + cos 2 ⁡ x s e n x

Agora para finalizar é só substituir y = s e n x cos ⁡ x no nosso resultado.

Passo 4

Passo 5

y ' = s e n x cos ⁡ x * - s e n x ln ⁡ s e n x + cos 2 ⁡ x s e n x

Você pode deixar assim, ou então multiplicar de forma distributiva, que vai dar em:

  y ' = - s e n x cos ⁡ x s e n x ln ⁡ s e n x + s e n x cos ⁡ x cos 2 ⁡ x s e n x

E podendo cortar o s e n x cos ⁡ x do numerador com o ( s e n x ) do denominador, o que vai resultar em s e n x cos ⁡ x - 1 . Além disso, podemos multiplicar o s e n x cos ⁡ x com o s e n x o que vai resultar em s e n x cos ⁡ x + 1 .

y ' = - s e n x cos ⁡ x + 1 ln ⁡ s e n x + s e n x cos ⁡ x - 1 cos 2 ⁡ x

Não há muito mais o que fazer, chegamos no resultado

Resposta

d y d x = - s e n x cos ⁡ x + 1 ln ⁡ s e n x + s e n x cos ⁡ x - 1 cos 2 ⁡ x

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
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