Derive:

f )   y = x 2 e - 1 / x

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

y = x 2 e - 1 / x           ( 1 )  

Note que a nossa função é da forma

y = f ( x ) g ( h ( x ) )

Portanto, um produto de uma função com uma outra função composta, desta forma é interessante usar a regra do produto junto com a regra da cadeia! Belezinha? Vamos lá!

Passo 2

Aplicando a derivada dos dois lados de nossa função, temos que

d y d x = d d x [ x 2 e - 1 / x ]

A regra do produto é tal que

d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = d d x [ f ( x ) ] g ( x ) + f ( x ) d d x [ g ( x ) ]

Podemos então escrever a nossa derivada da seguinte forma

d y d x = d d x [ x 2 ] e - 1 / x + x 2 d d x [ e - 1 / x ]

Agora precisamos calcular as duas derivadas que são um pouquinho mais simples que a original! Vamos lá!

Passo 3

A primeira derivada pode ser resolvida usando a regra do tombo

d d x [ x n ] = n x n - 1

E, portanto, temos que

d d x [ x 2 ] = 2 x 2 - 1 = 2 x

Vamos guardar este resultado e calcular agora a derivada que falta! Belezinha?

Passo 4

A derivada que falta é a seguinte

d d x [ e - 1 / x ]

Aqui, temos uma função composta da forma g ( h ( x ) ) , em que temos g = e h e h = - 1 / x . Ou seja, podemos usar a regra da cadeia para escrever que

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d g d h d h ( x ) d x

De forma que podemos escrever que

d d x [ e - 1 / x ] = d d h [ e h ] d d x [ - 1 / x ]

A derivada da exponencial é a própria exponencial, ou seja, temos que

d d h [ e h ] = e h

e, a segunda derivada pode ser calculada usando a regra do tombo, já que 1 / x = x - 1 , saca só

d d x [ - 1 / x ] = - d d x [ x - 1 ] = - [ - 1 x - 1 - 1 ]

Que pode ser reescrita como

d d x [ - 1 / x ] = 1 / x 2

Ou seja, a nossa derivada é tal que

d d x [ e - 1 / x ] = e - 1 / x [ 1 / x 2 ]

Maravilha! Agora temos tudo que precisamos para escrever a nossa derivada final! Vamos lá!

Passo 5

Nós estávamos calculando originalmente

d y d x = d d x [ x 2 ] e - 1 / x + x 2 d d x [ e - 1 / x ]

Usando os resultados que obtivemos, podemos escrever que

d y d x = 2 x e - 1 / x + x 2 e - 1 / x [ 1 / x 2 ]

Simplificando o que pode ser simplificado e colocando a exponencial em evidência, temos que

d y d x = e - 1 / x [ 2 x + 1 ]

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d y d x = e - 1 / x [ 2 x + 1 ]

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