Use derivação logarítmica para calcular:

f )   x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) 3

Passo 1

Eaew, beleza?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

y   = x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) 3           ( 1 )  

Mas, é pedido para calcular utilizando o método de derivação logarítmica! Que método é esse? O método se trata de utilizar propriedades do logaritmo para simplificar a função dada e juntamente com a regra da cadeia obter o resultado! Método que é útil quando se tem produtos e razões de polinômios como na equação (1). Saca só!

Passo 2

A primeira coisa a se fazer é aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação (1) da seguinte maneira, temos que

l n ( y )   =   l n [ x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) 3 ]  

Parece ter ficado mais complicado? Mas, saca só! Primeiro vamos lembrar que

x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) 3 = ( x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) ) 1 / 3

E, a primeira propriedade do logaritmo que será útil para nós é

l n ( a b ) = b   l n ( a )

De forma que podemos escrever a nossa função como

l n ( y )   =   1 3 l n [ x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) ]  

Sacou a ideia? Já conseguimos sumir com a raiz, será que ainda conseguimos simplificar mais? Vamos lá!

Passo 3

Nós ainda temos a seguinte função

l n ( y )   =   1 3 l n [ x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) ]  

Se lembrarmos a seguinte propriedade do logaritmo

l n ( y ) = l n a b = l n ( a ) - l n ( b )

Podemos reescrever a nossa função como

l n ( y )   =   1 3 [ l n [ x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ] - l n [ ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) ] ]

Começando a ficar mais simples, não é? Ainda pode ficar mais! Vem comigo!

Passo 4

Ainda precisamos simplificar a função que está da seguinte maneira

l n ( y )   =   1 3 [ l n [ x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ] - l n [ ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) ] ]

Para isso, vamos usar mais uma propriedade do logaritmo

l n ( a b ) = l n ( a ) + l n ( b )

Obtendo finalmente para a nossa função

l n ( y ) = 1 3 [ l n ( x ) + l n ( x + 1 ) + l n ( x - 2 ) - l n ( x 2 + 1 ) - l n ( 2 x + 3 ) ]

Ótimo! Agora a nossa derivada se tornou uma derivada de uma soma de logaritmos! O que é bem mais simples de resolver do que o problema original! Bora lá!

Passo 5

Temos que obter a seguinte derivada

d d x ( y ) = d d x x x + 1 x - 2 x 2 + 1 2 x + 3 3

Nós estamos com a função no seguinte formato

l n ( y ) = 1 3 [ l n ( x ) + l n ( x + 1 ) + l n ( x - 2 ) - l n ( x 2 + 1 ) - l n ( 2 x + 3 ) ]

Como no lado esquerdo temos l n ( y ) e não simplesmente y vamos precisar utilizar a regra da cadeia

d d x g ( f ( x ) ) = d g ( f ) d f d f ( x ) d x           ( 2 )

Vai ser útil para nós considerar em todas as derivadas que g ( f ) = l n ( f ) , em que f muda para cada termo acima! Ou seja, nossas derivadas serão

d d x [ l n ( f ) ] = 1 f d f d x

Ou seja, aplicando em nossa função temos que

1 y d y d x = 1 3 [ 1 x d x d x + 1 x + 1 d d x [ x + 1 ] + 1 x - 2 d d x [ x - 2 ] - 1 x 2 - 1 d d x [ x 2 - 1 ] - 1 2 x + 3 d d x [ 2 x + 3 ]

Lembra como se calcula cada uma das derivadas que faltaram? Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 6

Primeiro, vamos lembrar que derivadas da soma é a soma das derivadas, ou seja, temos que

d d x [ f ( x ) + g ( x ) ] = d f ( x ) d x + d g ( x ) d x

E, também que a derivada de qualquer constante é zero, ou seja

d d x [ C ] = 0

Por último, mas não menos importante, temos a regra do tombo

d d x [ x n ] = n x n - 1

Usando tudo isso, a derivada do lado direito da nossa função se torna

1 3 [ 1 x ( 1 ) x 1 - 1 + 1 x + 1 [ ( 1 ) x 1 - 1 + 0 ] + 1 x - 2 [ ( 1 ) x 1 - 1 - 0 ] - 1 x 2 - 1 [ ( 2 ) x 2 - 1 - 0 ] - 1 2 x + 3 d d x [ 2 ( 1 ) x 1 - 1 + 0 ]

Ou, simplificando, temos que

1 y d y d x = 1 3 [ 1 x + 1 x + 1 + 1 x - 2 - 2 x x 2 - 1 - 2 2 x + 3 ]

Como temos que a equação (1) nos diz que

y = x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) 3

Temos finalmente que

d y d x = x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) 3 1 3 [ 1 x + 1 x + 1 + 1 x - 2 - 2 x x 2 - 1 - 2 2 x + 3 ]

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d y d x = x ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 3 ) 3 1 3 [ 1 x + 1 x + 1 + 1 x - 2 - 2 x x 2 - 1 - 2 2 x + 3 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x