Derive:

p )   f ( x ) = ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

  f ( x ) = ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3           ( 1 )  

Note que esta é uma função composta, ou seja, da forma

f ( x ) = g ( h ( x ) )

Ou seja, para calcularmos sua derivada, devemos usar a regra da cadeia, de forma que

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d g d h d h d x

Temos só que identificar o que é o que! Tenta fazer usando isso! E volta aqui checar o resultado! Vamos lá!

Passo 2

Temos que calcular

  d d x [ f ( x ) ] = d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ]

podemos identificar então que g ( h ) = h 3 , em que h ( x ) = l n ( x 2 + 1 ) . Vamos aplicar a regra da cadeia! Temos que

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ] = d d h [ h 3 ] d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ]

pela regra do tombo podemos obter que

d d h [ h 3 ] = 3 h 3 - 1 = 3 h 2

Ou seja, como h = l n ( x 2 + 1 ) , podemos escrever que

d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ] = 3 l n 2 ( x 2 + 1 ) d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ]

Mas ainda falta a outra derivada! Ela também é derivada de uma função composta! Portanto, consegue adivinhar o que vou fazer? Saca só!

Passo 3

Queremos calcular

d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ]

Como temos que a função é composta, temos que aplicar a regra da cadeia. Desta vez temos que g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = x 2 + 1 . Portanto, a regra da cadeia se torna

d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ] = d d h [ l n ( h ) ] d d x [ x 2 + 1 ]

A derivada do logaritmo é conhecida como

d d h [ l n ( h ) ] = 1 / h

lembre que h = x 2 + 1 . A outra derivada pode ser escrita como uma soma de derivadas

d d x [ x 2 + 1 ] = d d x [ x 2 ] + d d x [ 1 ]

e lembrando que derivadas de constantes são zero e usando a regra do tombo, temos que

d d x [ x 2 + 1 ] = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x

E, a derivada toma a seguinte forma

d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ] = 1 x 2 + 1 ( 2 x ) = 2 x x 2 + 1

Vamos usar esse resultado em nossa derivada original!

Passo 4

Nós queremos calcular que

d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ] = 3 l n 2 ( x 2 + 1 ) d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ]

Usando o resultado do último passo, temos que

d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ] = 3 l n 2 ( x 2 + 1 ) [ 2 x x 2 + 1 ]

ou, rearranjando os termos

d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ] = 6 x   l n 2 ( x 2 + 1 ) x 2 + 1

Aí está! Bora para a próxima! Tchauzinho!

Resposta

d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ] = 6 x   l n 2 ( x 2 + 1 ) x 2 + 1

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