Derive:

c )   f ( s ) = s 2 + 1 s 2 + 4

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

y = f ( s ) = s 2 + 1 s 2 + 4           ( 1 )  

Vamos usar uma técnica ensinada nesta lista de exercícios para resolver esta questão! Belezinha? A técnica será a derivação logarítmica, como fazemos isso? Se trata de usar e abusar das propriedades do logaritmo para simplificar a equação (1). Bora? Vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é aplicar a função logaritmo em ambos os lados da equação (1) para obter

l n ( y )   =   l n ( s 2 + 1 s 2 + 4 )

E isso ajuda no que? Vamos primeiro lembrar que

s 2 + 1 s 2 + 4 = ( s 2 + 1 s 2 + 4 ) 1 / 2

Ou seja, podemos escrever que

l n ( y )   =   l n [ ( s 2 + 1 s 2 + 4 ) 1 / 2 ]

A utilidade disso está no fato de que existe a seguinte propriedade do logaritmo

l n ( a b ) = b   l n ( a )

E, portanto, podemos eliminar a raiz de nossa derivada para obter

l n ( y ) = 1 2   l n ( s 2 + 1 s 2 + 4 )

Será que conseguimos simplificar ainda mais? Claro que sim! Vem comigo!

Passo 3

Lembra de mais alguma propriedade do logaritmo para usarmos? Temos também a seguinte

l n ( a b ) = l n ( a ) - l n ( b )

Ou seja, podemos escrever a nossa função como

l n ( y ) = 1 2 [ l n ( s 2 + 1 ) - l n ( s 2 + 4 ) ]

Maravilha! Agora para calcularmos nossa derivada é apenas lembrar de algumas derivadas de logaritmo e da regra da cadeia! Vamos lá!

Passo 4

Primeiro, a regra da cadeia é tal que

d f ( g ( s ) ) d s = d f d g d g d s

Em todas os termos das nossas derivadas podemos identificar que f = l n ( g ) , portanto, usando que

d d g [ l n ( g ) ] = 1 g

Podemos escrever nossa derivada para g = y , g = s 2 + 1 e g = s 2 + 4 , como

1 y d y d s = 1 2 [ 1 s 2 + 1 d d s ( s 2 + 1 ) - 1 s 2 + 4 d d s ( s 2 + 4 ) ]

Ótimo! Estamos quase lá! Agora falta só aplicar a regra do tombo! Vem comigo!

Passo 5

Lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja

d d s [ f ( s ) + g ( s ) ] = d d s [ f ( s ) ] + d d s [ g ( s ) ]

e, lembrando que a derivada de uma constante é 0

d d s [ C ] = 0

Podemos aplicar a regra do tombo

d d s [ s n ] = n   s n - 1

Para obter

1 y d y d s = 1 2 [ 1 s 2 + 1 ( 2 s 2 - 1 + 0 ) - 1 s 2 + 4 ( 2 s 2 - 1 + 0 ) ]

Simplificando e isolando d y / d s , que é a derivada desejada, temos que

d y d s = y 2 [ 2 s s 2 + 1 - 2 s s 2 + 4 ]

Como temos que

y = s 2 + 1 s 2 + 4

Podemos finalmente escrever que

d y d s = s 2 + 1 s 2 + 4 [ 1 s 2 + 1 - 1 s 2 + 4 ] s

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d y d s = s 2 + 1 s 2 + 4 [ 1 s 2 + 1 - 1 s 2 + 4 ] s

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