Derive:

l )   f ( x ) = x + 1 x l n ( x )

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

f ( x ) = x + 1 x l n ( x )           ( 1 )  

Note que a nossa função é da forma

f ( x ) = g ( x ) h ( x )

Ou seja, é um quociente de funções. Sendo assim, é conveniente utilizar a regra do quociente da forma

d d x [ g ( x ) / h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

Mas também vamos precisar usar a regra do produto! Mas vamos com calma, quando chegarmos lá eu aviso! Consegue fazer por conta própria? Se tiver dúvidas, vem comigo!

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, temos que

d d x [ x + 1 x l n ( x ) ] = d d x [ x + 1 ] x l n ( x ) - x d d x [ x l n ( x ) ] [ x l n ( x ) ] 2

Vamos calcular de uma vez a derivada mais simples, temos que

d d x [ x + 1 ] = d d x [ x ] + d d x [ 1 ]

Como temos que a derivada de constantes são zero, e usando a regra do tombo, podemos escrever

d d x [ x + 1 ] = ( 1 ) x 1 - 1 + 0 = 1

Para a outra derivada precisaremos da regra do produto! Consegue se lembrar como fazer? Vem comigo!

Passo 3

Temos que calcular a seguinte derivada

d d x [ x l n ( x ) ]

Como esta é a derivada de uma função da forma g ( x ) = h ( x ) i ( x ) , podemos utilizar a regra do produto

d d x [ h ( x ) i ( x ) ] = d d x [ h ( x ) ] i ( x ) + h ( x ) d d x [ i ( x ) ]

Aplicando à derivada que queremos calcular, temos que

d d x [ x l n ( x ) ] = d d x [ x ] l n ( x ) + x d d x [ l n ( x ) ]

Nós podemos usar a regra do tombo para obter que

d d x [ x ] = ( 1 ) x 1 - 1 = 1

E, a derivada do logaritmo é conhecida como

d d x [ l n ( x ) ] = 1 / x

Portanto, a derivada desejada é tal que

d d x [ x l n ( x ) ] = ( 1 ) l n ( x ) + x ( 1 / x ) = l n ( x ) + 1

Vamos substituir na nossa derivada original!

Passo 4

Nós queremos calcular

d d x [ x + 1 x l n ( x ) ] = d d x [ x + 1 ] x l n ( x ) - x d d x [ x l n ( x ) ] [ x l n ( x ) ] 2

Portanto, substituindo os resultados que obtivemos nos outros passos, temos que

d d x [ x + 1 x l n ( x ) ] = ( 1 ) x l n ( x ) - x ( l n ( x ) + 1 ) [ x l n ( x ) ] 2

Podemos distribuir o segundo produto para simplificar um pouco o resultado

d d x [ x + 1 x l n ( x ) ] = x l n ( x ) - x l n ( x ) - x ] [ x l n ( x ) ] 2 = - 1 x 2 l n 2 ( x )

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ x + 1 x 2 l n ( x ) ] = - 1 x 2 l n 2 ( x )

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x