Determine a derivada das funções abaixo

i )   f x = 5 x + log 3 ⁡ x + 5 x 2 ln ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = 5 x + log 3 ⁡ x + 5 x 2 ln ⁡ x

E pediu a derivada!

A função f é uma soma de 3 termos, certo? Sendo assim, precisamos lembrar que a derivada de uma soma é a soma das derivadas!

f ' x = 5 x ' + log 3 ⁡ x ' + 5 x 2 ln ⁡ x '

Então o que podemos fazer é encontrar a derivada de cada um desses termos e depois somar todos eles, belezinha?

Temos três termos

1 º   : 5 x '

2 º :   log 3 ⁡ x '

3 º : 5 x 2 ln ⁡ x '  

A ideia é calcular a derivada de cada um desses termos e juntar tudo no final!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro a derivada de 5 x

Essa função é uma exponencial. Para calcular a derivada vamos relembrar da fórmula da derivada de uma função exponencial de base a qualquer:

f = a x

f ' = a x ln ⁡ a

No nosso caso a = 5 , sendo assim sua derivada fica

5 x ' = 5 x ln ⁡ 5

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos para a derivada do segundo termo!

O segundo termo é log 3 ⁡ x

Aqui temos uma função logarítmica e como recordar é viver, a derivada de uma função logarítmica de base a e logaritmando x é:

f = log a ⁡ x

f ' = 1 ln ⁡ a . 1 x

No nosso caso a = 3 , assim a derivada dessa função é:

log 3 ⁡ x ' = 1 ln ⁡ 3 . 1 x = 1 x ln ⁡ 3

Beleza? Vamos para o último termo?

Passo 4

O terceiro termo é: 5 x 2 ln ⁡ x . E aqui mora o perigo!

Embora esse termo contenha duas funções conhecidas nossas, o polinômio e o logaritmo natural, esse termo é o PRODUTO delas! Então precisamos aplicar a regra do produto na hora de derivar!

A regra do produto nos diz que a derivada de uma função que é o produto de duas funções f e g é:

f g ' = f ' g + g ' f

Beleza?

Então além de aplicar a regra do produto, precisamos saber a derivada de funções polinomiais e logarítmicas, para aplicar ali em cima na regra do produto

Voltando ao nosso termo:

5 x 2 ln ⁡ x

Podemos dizer que ele é a multiplicação de 5 x 2 com ln ⁡ x ?

Então:

f = 5 x 2       g = ln ⁡ x

f ' = 10 x         g ' = 1 x

Beleza? Agora a regra do produto:

f g ' = f ' g + g ' f = 10 x . ln ⁡ x + 1 x . 5 x 2 = 10 x ln ⁡ x + 5 x

Beleza? Vamos juntar todos os resultados?

Passo 5

Nossa função era:

f x = 5 x + log 3 ⁡ x + 5 x 2 ln ⁡ x

a derivada de uma soma é a soma das derivadas:

f ' x = 5 x ' + log 3 ⁡ x ' + 5 x 2 ln ⁡ x '

E resgatando os valores dos passos 2, 3 e 4:

f ' x = 5 x ln ⁡ 5 + 1 x ln ⁡ 3 + 10 x ln ⁡ x + 5 x

E taí nosso resultado!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

f ' x = 5 x ln ⁡ 5 + 1 x ln ⁡ 3 + 10 x ln ⁡ x + 5 x

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x