6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

q) f x = ln ⁡ x + 1 x - 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = ln ⁡ x + 1 x - 1   .

Como vamos fazer isso? 🤔

A primeira coisa que podemos observar na função é que se trata de uma função composta.

Nesses casos, a melhor maneira de se obter a derivada é através da regra da cadeia...

A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta f x = g h x é dada pelo produto da derivada da função externa com a derivada da função interna, ou seja

f ' x = h ' x · g ' h x

Bora começar daí! 😁

Passo 2

A função é f x = ln ⁡ x + 1 x - 1 e a derivada seguindo a regra da cadeia é dada por

f ' x = d x + 1 x - 1 d x · d ln ⁡ u d u

Porém caímos em outra função composta em x + 1 x - 1 , então aplicando a regra da cadeia novamente...

f ' x = d x + 1 x - 1 d x · d v d v · d ln ⁡ u d u

E por fim, o termo x + 1 x - 1 é a fração de duas funções, e para esse caso, a derivada pode ser dada pela regra do quociente, ou seja

f ' x = d x + 1 d x · x - 1 - x + 1 · d x - 1 d x x - 1 2 · d v d v · d ln ⁡ u d u

E finalmente, pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d x + 1 d x = 1

d x - 1 d x = 1

d v d v = 1 2 v

d ln ⁡ u d u = 1 u

Substituindo em f ' x

f ' x = 1 · x - 1 - x + 1 · 1 x - 1 2 · 1 2 v · 1 u

Substituindo u = x + 1 x - 1 e v = x + 1 x - 1

f ' x = 1 · x - 1 - x + 1 · 1 x - 1 2 · 1 2 x + 1 x - 1 · 1 x + 1 x - 1

f ' x = x - 1 - x + 1 x - 1 2 1 2 x + 1 x - 1

f ' x = - 2 2 x + 1 x - 1

f ' x = - 1 x + 1 x - 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = - 1 x + 1 x - 1

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