Derive:

k) y = e - 5 x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Temos dado que f x = e - 5 x , assim f x + h = e - 5 x + h . De forma que temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   e - 5 x + h - e - 5 x h

Sabemos das propriedades das potencias que x a ⋅ x b = x a + b , de forma que e - 5 x + h = e - 5 x ⋅ e - 5 h :

f ' x = lim h → 0 ⁡   e - 5 x + h - e - 5 x h = lim h → 0 ⁡   e - 5 x ⋅ e - 5 h - e - 5 x h

Mas saca só. Podemos fatorar e - 5 x , certo?!

f ' x = lim h → 0 ⁡   e - 5 x ⋅ e - 5 h - e - 5 x h = lim h → 0 ⁡   e - 5 x e - 5 h - 1 h  

E agora sim podemos fazer o limite e finalmente acharmos a nossa derivada. Vamos lá?!

Passo 3

Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   e - 5 x e - 5 h - 1 h  

Primeiramente veja que se fizermos h = 0 teremos uma indeterminação:

f ' x = lim h → 0 ⁡   e - 5 x e - 5 h - 1 h = e - 5 x 1 - 1 0 = 0 0

Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:

f ' x = lim h → 0 ⁡   e - 5 x e - 5 h - 1 h = lim h → 0 ⁡   d d h e - 5 x e - 5 h - 1 d d h h

E agora temos um problema que é derivar d d h e - 5 x e - 5 h - 1 , aqui temos a derivada de Euler, lembra como era? A saber:

d d x e x = x '   e x

Onde x ' é a derivada do expoente.

Sabendo disso, podemos ver que:

d d h e - 5 x e - 5 h - 1 = e - 5 x - 5 e - 5 h - 0 = - 5   e - 5 x e - 5 h

mas podemos voltar àquilo que falamos da propriedade das potencias e ver:

- 5   e - 5 x e - 5 h = - 5 e - 5 x + h

Logo:

d d h e - 5 x e - 5 h - 1 = - 5 e - 5 x + h

Concluímos que:

lim h → 0 ⁡   d d h e - 5 x e - 5 h - 1 d d h h = lim h → 0 ⁡   - 5 e - 5 x + h 1

E agora sim, podemos ver que se h = 0 :

lim h → 0 ⁡   - 5 e - 5 x + h 1 = - 5 e - 5 x

E achamos o valor do nosso limite.

MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?

Passo 4

Então tínhamos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   e - 5 x e - 5 h - 1 h  

E achamos que:

lim h → 0 ⁡   e - 5 x e - 5 h - 1 h = - 5 e - 5 x

Portanto, concluímos que:

f ' x = - 5 e - 5 x

E achamos a derivada de f x = e - 5 x

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

f ' x = y ' = - 5 e - 5 x

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