Mostre que se f x = e a x , então f n x = a n   e a x

Passo 1

Bem, vamos lembrar primeiro como é a regrinha pra derivada de exponencial?

f x = e u

f ' x = d u   e u

Ou seja, precisamos derivar o expoente que está na exponencial e depois multiplicar pela própria função original.

No caso temos que nosso expoente é a x , então derivando de tal forma que

d d x a x = a

Então, na primeira derivada teríamos f ' x = a e a x

Se você fosse derivar de novo, note que agora teremos a constante a multiplicando nossa função exponencial, o que fará com que na próxima derivada, tenhamos algo como:

f ' ' x = a   d d x a x e a x = a 2   e a x

Portanto, note que podemos realmente dizer que:

f n x = a n   e a x

Resposta

f n x = a n   e a x

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
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Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x