7.12. Seja f x = x 7 + π x 3 - 8 x 2 + e x + 1 . Quantas soluções distintas tem a equação f ' ' x = 0 ? Mostre que a equação f x = 0 tem exatamente três soluções reais distintas.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter o número de soluções distintas para a equação f ' ' x = 0 sabendo que f x = x 7 + π x 3 - 8 x 2 + e x + 1 .

Além disso, temos que mostrar que f x = 0 tem exatamente três soluções reais e distintas.

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

Primeiramente, para obter a derivada de segunda ordem de f x aplicamos apenas o método de derivação polinomial. A partir daí, temos que usar algum método de análise ou de fatoração da equação e obter suas raízes.

Bora começar! 😁

Passo 2

Obtendo a primeira derivada de f x , temos

f ' x = d x 7 + π x 3 - 8 x 2 + e x + 1 d x

f ' x = 7 x 6 + 3 π x 2 - 16 x + e

Derivando o resultado para obter a derivada de segunda ordem...

f ' ' x = d 7 x 6 + 3 π x 2 - 16 x + e d x

f ' ' x = 42 x 5 + 6 π x - 16

Agora fazendo f ' ' x = 0

f ' ' x = 42 x 5 + 6 π x - 16 = 0

42 x 5 + 6 π x - 16 = 0

Nesse caso, ao invés de aplicar alguns métodos complexos demorados e complicados, vamos definir uma nova função g x = f ' ' x , ou seja

g x = 42 x 5 + 6 π x - 16

Lembra que a derivada de uma função nos resulta no coeficiente angular dessa função no seu domínio?

Ou seja, se derivarmos g x podemos analisar o comportamento de f ' ' x e saber como ela varia, veja só

g ' x = d 42 x 5 + 6 π x - 16 d x

g ' x = 210 x 4 + 6 π

Perceba que a derivada de g x é sempre positiva... isso significa que g x está sempre crescendo.

Dessa forma só é possível que g x , ou seja, f ' ' x corte o eixo x apenas uma vez, logo, f ' ' x tem apenas uma solução para f ' ' x = 0

Interessante, não é? 😉

Passo 3

Fazendo essa mesma análise para f x , temos

f x = x 7 + π x 3 - 8 x 2 + e x + 1

Como obtemos anteriormente

f ' x = 7 x 6 + 3 π x 2 - 16 x + e

Se x = 0 , f 0 = 1 e como 7 x 6 + 3 π x 2 ≫ 16 x , para x < 0 , então podemos perceber que em x < 0 a função f x é estritamente crescente.

Dessa forma, como f 0 > 0 e f ' x < 0 > 0 , temos apenas uma raiz para x < 0 .

Certo, encontramos uma raiz, faltam duas!

Se fizermos f 1 , vamos obter

f 1 = 1 7 + π 1 3 - 8 1 2 + e 1 + 1

f 1 = 1 + π - 8 + e + 1

f 1 = π + e - 6

f 1 ≅ - 0,14

Ou seja, como f 0 > 0 e f 1 < 0 , entre 0 < x < 1 tem pelo menos mais uma raiz pois f x saiu de um número positivo em x = 0 para um número negativo em x = 1

Novamente vamos ver qual é a imagem da função em x = 2 dessa vez

f 2 = 2 7 + π 2 3 - 8 2 2 + e 2 + 1

f 2 = 128 + 8 π - 32 + 2 e + 1

f 2 = 97 + 8 π + 2 e

Agora descobrimos que f 2 é positivo! Portanto entre x = 1 e x = 2 temos mais uma raiz, totalizando as três que tínhamos que provar que existiam!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Uma raiz!

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