Derive:

s )   f ( x ) = x e 2 x l n ( 3 x + 1 )

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

f ( x ) = x e 2 x l n ( 3 x + 1 )

Essa função é um quociente de duas funções da forma f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , e portanto, pode ser resolvida aplicando a regra do quociente

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

Só basta identificar quem são as funções. No entanto, devido ao formato de g ( x ) e h ( x ) , ainda precisaremos utilizar a regra do produto e a regra da cadeia! Mas vamos com calma! Quando chegarmos lá! A gente apresenta tudo que é necessário! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra do quociente, temos que g ( x ) = x e 2 x e h ( x ) = l n ( 3 x + 1 ) , ou seja, a regra do quociente toma a seguinte forma

d d x [ x e 2 x l n ( 3 x + 1 ) ] = d d x [ x e 2 x ] l n ( 3 x + 1 ) - x e 2 x d d x [ l n ( 3 x + 1 ) ] [ l n ( 3 x + 1 ) ] 2

Temos duas derivadas para resolver, a primeira utiliza a regra do produto e a segunda a regra da cadeia! Vamos fazer uma por vez! Saca só!

Passo 3

Vamos resolver a derivada

d d x [ x e 2 x ]

Ela é a derivada de um produto de funções da forma f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , e portanto, a sua derivada pode ser obtida pela regra do produto

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

Usando que g ( x ) = x e h ( x ) = e 2 x , temos que

d d x [ x e 2 x ] = d d x [ x ] e 2 x + x d d x [ e 2 x ]

Vamos tentar não esquecer o problema original e resolver estas duas derivadas primeiro! Bora lá!

Passo 4

Para a primeira das duas derivadas podemos usar a regra do tombo

d d x [ x ] = ( 1 ) x 1 - 1 = 1

e, para a segunda derivada, podemos lembrar que derivadas de exponenciais são conhecidas

d d x [ e a x ] = a   e a x

ou seja, temos que

d d x [ e 2 x ] = 2   e 2 x

de forma que a nossa regra do produto toma a seguinte forma

d d x [ x e 2 x ] = ( 1 ) e 2 x + x ( 2   e 2 x ) = e 2 x ( 1 + 2 x )

Vamos resolver agora a derivada que precisava da regra da cadeia! Saca só!

Passo 5

A outra derivada que precisamos resolver é

d d x [ l n ( 3 x + 1 ) ]

ela é a derivada de uma função composta da forma g ( h ( x ) ) , em que g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = 3 x + 1 . Aplicando a regra da cadeia

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

aplicando para a nossa função, temos que

d d x [ l n ( 3 x + 1 ) ] = d d h [ l n ( h ) ] d d x [ 3 x + 1 ]

Agora é só resolver as duas derivadas que surgiram! Vamos fazer isso! O que é que estávamos querendo calcular mesmo? Aaah é!! A derivada do enunciado! Não vamos esquecer! Vamos lá!

Passo 6

A derivada do logaritmo é conhecida, temos que

d d h [ l n ( h ) ] = 1 / h

em que h = 3 x + 1 . Agora a outra derivada pode ser escrita como

d d x [ 3 x + 1 ] = 3 d d x [ x ] + d d x [ 1 ]

Como a derivada de constantes são zero, e aplicando a regra do tombo, temos que

d d x [ 3 x + 1 ] = 3 ( 1 ) x 1 - 1 + 0 = 3

A nossa derivada pode ser escrita então da seguinte forma

d d x [ l n ( 3 x + 1 ) ] = ( 1 3 x + 1 ) ( 3 ) = 3 3 x + 1

Uff… Finalmente podemos juntar tudo no problema original! Saca só!

Passo 7

Estávamos tentando calcular a seguinte derivada

d d x [ x e 2 x l n ( 3 x + 1 ) ] = d d x [ x e 2 x ] l n ( 3 x + 1 ) - x e 2 x d d x [ l n ( 3 x + 1 ) ] [ l n ( 3 x + 1 ) ] 2

Acabamos precisando calcular uma derivada pela regra do produto e outra pela regra da cadeia, e obtivemos

d d x [ x e 2 x l n ( 3 x + 1 ) ] = [ e 2 x ( 1 + 2   x ) ]   l n ( 3 x + 1 ) - x e 2 x   [ 3 3 x + 1 ] [ l n ( 3 x + 1 ) ] 2

Não dá para fazer muita coisa para reescrever, mas eu acho que ela fica mais bonitinha assim

d d x [ x e 2 x l n ( 3 x + 1 ) ] = e 2 x [ 1 + 2 x l n ( 3 x + 1 ) - 3 x ( 3 x + 1 )   l n 2 ( 3 x + 1 ) ]

A questão foi isso! Até a próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ x e 2 x l n ( 3 x + 1 ) ] = e 2 x [ 1 + 2 x l n ( 3 x + 1 ) - 3 x ( 3 x + 1 )   l n 2 ( 3 x + 1 ) ]

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