Derive:

p) y = x e x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Temos dado que f x = x e x , assim f x + h = x + h e ( x + h ) . De forma que temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   x + h e ( x + h ) - x e x h

Sabendo que a soma dos limites é o limite da soma, podemos fazer:

f ' x = lim h → 0 ⁡   x + h e ( x + h ) - x e x h = lim h → 0 ⁡   x + h e ( x + h ) h - lim h → 0 ⁡   x e x h

E agora sim podemos fazer ambos os limites separadamente e finalmente acharmos a nossa derivada. Vamos lá?!

Passo 3

Para o primeiro:

lim h → 0 ⁡   x + h e ( x + h ) h

Podemos deixar isso visivelmente mais bonito? O que acha de fazermos x + h = u ? E veja que se h → 0 ⇒ u → x . Assim:

lim h → 0 ⁡   x + h e ( x + h ) h = lim u → x ⁡   u e u u - x

Veja que se fizermos u = x teremos uma indeterminação:

lim u → x ⁡   u e u u - x = x e x x - x = x e x 0

Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:

lim u → x ⁡   d d u u e u d d u u - x

E aqui temos uma parte importante das derivadas, que é derivada pela regra da cadeia. O que é isso? Quando numa derivada temos duas funções que dependem da variável de derivação, veja que nesse caso temos u e e u . Dependendo ambas de u , é aplicada a regra de derivação pela cadeia. Mas como é isso?

Seja f ( x ) e g x , então:

d d x f x ⋅ g x = d d x f x ⋅ g x + f x ⋅ d d x g x

Ou seja, derivamos uma a multiplicamos pela outra, e somamos com a derivada da outra com essa. Usando o nosso caso:

d d u u e u = d d u u ⋅ e u + u ⋅ d d u e u

E agora temos problema. Como que faço essas derivadas? A primeira d d u u é chamada regra do tombo, que é dada por:

d d x x n = n x n - 1 x '

Ou seja, tombamos o expoente, e agora o nosso expoente é ele mesmo menos 1 , isso tudo se multiplicando por x ' , que é a derivada da base do expoente. No nosso caso:

d d u u 1 = 1 ⋅ u 1 - 1 = 1

Ou seja, a derivada de u com relação à u é 1

E a outra, que é d d u e u é a regra da derivada do exponencial de Euler, muito conhecida, que é:

d d x e x = d d x x e x

Veja que ela se repete, né?! Legal isso. Por que será? Bom, está livre para saber mais sobre. No nosso caso:

d d u e u = d d u u e u

Mas já sabemos que d d u u = 1 . Assim:

d d u e u = d d u u e u = e u

Tendo essa parte do problema resolvido:

d d u u e u = d d u u ⋅ e u + u ⋅ d d u e u = e u + e u u

E portanto:

lim u → x ⁡   d d u u e u d d u u - x = lim u → x ⁡   e u + u e u d d u u - d d u x

Temos um problema que é derivar d d u x , o que fazemos quando a função não depende da variável de integração? Provamos no passo 1 que a derivada é uma variação, e se a função é constante, concorda comigo que não varia? Logo se a função é a constante, a derivada dela é nula: d d u x = 0  

lim u → x ⁡   e u + u e u d d u u - d d u x = lim u → x ⁡   e u + u e u 1

Agora sim se fizermos u = x :

lim u → x ⁡   e u + u e u 1 = e x + x e x

Fatorando e x :

e x + x e x = e x 1 + x

Então vemos que:

lim h → 0 ⁡   x + h e x + h h = e x 1 + x

E achamos o valor do nosso primeiro limite. Vamos lá achar o segundo?

lim h → 0 ⁡   x e x h

Veja que novamente se fizermos h = 0 teremos uma indeterminação

lim h → 0 ⁡   x e x h =   x e x 0

E quando temos uma indeterminação significa que novamente podemos usar a regra de l’hospital. Então derivando:

lim h → 0 ⁡   d d h x e x d d h h

Lembra daquele lance de derivar uma função constante, aqui vemos que d d h x e x = 0 . Assim:

lim h → 0 ⁡   d d h x e x d d h h = lim h → 0 ⁡   0 1

E logo:

lim h → 0 ⁡ 0 1 = 0

E achamos então o valor da nossa segunda derivada.

Agora que achamos tudo, vamos ver como ficou nossa derivada?

MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?

Passo 4

Então tínhamos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   x + h e x + h h - lim h → 0 ⁡   x e x h

E achamos que:

lim h → 0 ⁡   x + h e x + h h - lim h → 0 ⁡   x e x h = e x 1 + x - 0

Portanto:

f ' x = e x 1 + x

Que é a derivada de f x = x e x

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

f ' x = y ' = e x 1 + x

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