6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

j) f x = 2 x 2 + 3 2 x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = 2 x 2 + 3 2 x .

Como vamos fazer isso? 🤔

O que nos salta aos olhos nessa função, é que temos a variável x nos expoentes dos termos e pra isso, podemos aplicar a regra do expoente fazendo

a b = e b l n a

Perceba que esse termo se transformou em uma função composta, ou seja, podemos reescrever o termo e b l n a como e u onde u = b l n a .

Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = 2 x 2 + 3 2 x , e sua derivada por

f ' x = d 2 x 2 + 3 2 x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

f ' x = d 2 x 2 d x + d 3 2 x d x

Substituindo 2 x 2 = e x 2 l n 2 e 3 2 x = e 2 x l n 3 como vimos no passo 1, temos

f ' x = d e x 2 l n 2 d x + d e 2 x l n 3 d x

Aplicando a regra da cadeia nas derivadas...

f ' x = d x 2 l n 2 d x · d e u d u + d 2 x l n 3 d x · d e v d v

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de x 2 l n 2 e 2 x l n 3 são

d x 2 l n 2 d x = 2 x l n 2

d 2 x l n 3 d x = 2 ln ⁡ 3

Já a derivada dos termos e u e e v são dadas pelo teorema fundamental do cálculo

d e u d u = e u

d e v d v = e v

Substituindo os resultados em f ' x ...

f ' x = 2 x l n 2 · e u + 2 ln ⁡ 3 · e v

Voltando u para x 2 l n 2 e v para 2 x l n 3

f ' x = 2 x l n 2 · e x 2 l n 2 + 2 ln ⁡ 3 · e 2 x l n 3

f ' x = 2 x ln ⁡ 2 2 x 2 + 2 ln ⁡ 3 3 2 x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = 2 x ln ⁡ 2 2 x 2 + 2 ln ⁡ 3 3 2 x

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