19 - Use a derivação logarítmica para calcular:

e ) y = x + 1 10 2 x + 1 5

Passo 1

Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nesse caso, nós usaremos essa técnica para poder aproveitar as propriedades dos logaritmos.

Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:

ln ⁡ y = ln ⁡ f x

E então, no lado direito da expressão, iremos usar as propriedades de logaritmo para tornar nossa expressão mais simples e portanto mais fácil de derivar, as propriedades que usaremos são:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln �� b  

ln ⁡ a b = b l n a

E no lado esquerdo da expressão temos l n ⁡ ( y ) que iremos derivar implicitamente, o que ficará como:

ln ⁡ y ' = 1 y y '

O y ' nada mais é do que a derivada que queremos encontrar...

Passo 2

Temos nesse caso que:

y = x + 1 10 2 x + 1 5

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 10 2 x + 1 5

Perceba que podemos abrir essa raíz na divisão de duas raízes:

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 10 2 x + 1 5

E perceba que podemos cortar a raíz quadrado do termo do numerador, pois ele tem um expoente par, ficando portanto:

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 5 2 x + 1 5

Agora vamos aplicar as propriedades de log da divisão, o que nos dará:

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 5 - ln ⁡ 2 x + 1 5

Perceba que aqui podemos aplicar outra propriedade do log, que é o famoso “peteleco” do log.

ln ⁡ y = 5 ln ⁡ x + 1 - 5 ln ⁡ 2 x + 1

O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!

Passo 3

1 y y ' = 5 x + 1   x + 1 ' - 5 2 x + 1 2 x + 1 '

Precisamos agora encontrar as derivadas de x + 1 e de 2 x + 1

A de x + 1 é fácil, vai dar 1 .

Já para a derivada de 2 x + 1 ,

vamos lembrar que x = x 1 2 e aplicando a regra do peteleco teremos:

x 1 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2

E por fim lembrar que x - 1 2 = 1 x

Sendo assim temos:

x ' = 1 2 x

E analogamente, temos:

2 x + 1 ' = 1 2 2 x + 1 2 x + 1 '

Perceba que nesse caso, precisamos multiplicar pela derivada do termo de dentro da raíz, pois temos aqui uma regra da cadeia.

2 x + 1 ' = 2 2 2 x + 1

Portanto,

2 x + 1 ' = 1 2 x + 1

Vou substituir tudo no próximo passo, calma aí!

Passo 4

A gente tinha que

1 y y ' = 5 x + 1   x + 1 ' - 5 2 x + 1 2 x + 1 '

E substituindo as derivadas teremos:

1 y y ' = 5 x + 1   1 - 5 2 x + 1 * 1 2 x + 1

Podemos multiplicar essas frações, o que vai dar em

1 y y ' = 5 x + 1   - 5 2 x + 1 2

O que possibilita que a gente corte a raíz:

1 y y ' = 5 x + 1   - 5 2 x + 1

Não tem muito mais o que fazer, vamos deixar o y ' isolado...

y ' = y 5 x + 1   - 5 2 x + 1

Agora para finalizar é só substituir y = x + 1 10 2 x + 1 5 no nosso resultado.

Passo 5

Passo 6

y ' = x + 1 10 2 x + 1 5 5 x + 1   - 5 2 x + 1

Voilá, taí a nossa resposta.

Resposta

y ' = x + 1 10 2 x + 1 5 5 x + 1   - 5 2 x + 1

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