18 - Use a derivação logarítmica para determinar d y d x :

n )   f x = 2 x + 1 ln ⁡ x

Passo 1

Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nós costumamos usar essa técnica quando queremos calcular a derivada de uma função que está elevada por outra função, algo como:

y = f x g x

Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:

ln ⁡ y = ln ⁡ f x g x

E então, aplicando a propriedade do “peteleco” do logaritmo, teremos:

ln ⁡ y = g x ln ⁡ f x

Perceba que agora temos uma função implícita de y , e então aplicamos a derivação implícita, sem esquecer que no termo da direita da equação temos uma regra do produto por conta da multiplicação de g x com ln ⁡ f x e também haverá uma regra da cadeia por conta da derivada de ln ⁡ f x , o que ficará:

1 y y ' = g ' x ln ⁡ f x + g x 1 f x f ' x

O y ' nada mais é do que o d y / d x que queremos encontrar.

Passo 2

Temos nesse caso que:

y = f x = 2 x + 1 ln ⁡ x

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ln ⁡ x

ln ⁡ y = ln ⁡ x ln ⁡ 2 x + 1

O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!

Passo 3

1 y y ' = 1 x ln ⁡ 2 x + 1 + ln ⁡ x 1 2 x + 1   2 x + 1 '

Seguindo...

1 y y ' = 1 x ln ⁡ 2 x + 1 + ln ⁡ x 2 x + 1 * 2

Não tem muito mais o que fazer, vamos deixar o y ' isolado...

y ' = y * 1 x ln ⁡ 2 x + 1 + 2 ln ⁡ x 2 x + 1

Agora para finalizar é só substituir y = 2 x + 1 ln ⁡ x no nosso resultado.

Passo 4

Passo 5

y ' = 2 x + 1 ln ⁡ x * 1 x ln ⁡ 2 x + 1 + 2 ln ⁡ x 2 x + 1

Você pode deixar assim, ou então multiplicar de forma distributiva, que vai dar em:

  y ' = 2 x + 1 ln ⁡ x x ln ⁡ 2 x + 1 + 2 ln ⁡ x 2 x + 1 2 x + 1 ln ⁡ x

E podendo cortar o 2 x + 1 ln ⁡ x do numerador com o ( 2 x + 1 ) do denominador, o que vai resultar em 2 x + 1 ln ⁡ x - 1

y ' = 2 x + 1 ln ⁡ x x ln ⁡ 2 x + 1 + 2 l n x 2 x + 1 ln ⁡ x - 1

Não há muito mais o que fazer, chegamos no resultado

Resposta

d y d x = 2 x + 1 ln ⁡ x x ln ⁡ 2 x + 1 + 2 l n x 2 x + 1 ln ⁡ x - 1

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