Mostre que d d x   a x = ln ⁡ a a x . Use que d d x e x = e x .

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

Para resolvermos esse probleminha, vamos precisar lembrar de algumas definições e propriedades log.

log b ⁡ x = y ↔ b y = x

A propriedade de mudança de base:

log a ⁡ x =   ln ⁡ x ln ⁡ a      

E lembrando que:

d d x log a ⁡ x = 1 ln ⁡ a x

Agora vamos fazer o seguinte: tenha que a x = y , e aplicando nossa propriedade log, temos que:

log a ⁡ y = x

Vem pro passo 2 comigo!!

Passo 2

Aplicando a derivada na nossa última função encontrada no passo 1, temos:

d d x log a ⁡ y = d d x x

Mas vimos no passo 1 que:

log a ⁡ x =   ln ⁡ x ln ⁡ a

Portanto, podemos escrever que:

d d x ln ⁡ x ln ⁡ a = d d x x

Passo 3

Como estamos derivando em função de x , vamos derivar de forma implica e 1 / l n ⁡ ( a ) sairá da derivada por ser uma constante nesse caso, certo?

1 ln ⁡ a 1 y d y d x = 1

Passo 4

Portanto, podemos isolar d y / d x e provar o pedido.

d y d x = ln ⁡ a y = ln ⁡ a a x

Resposta

Demonstração

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x