6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

e) f x = e 1 x 2 + 1 e x 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos obter a derivada da função f x = e 1 x 2 + 1 e x 2

Como podemos fazer isso? 🤔

Já adianto que pra essa função, vamos apelar para o teorema fundamental do cálculo.

Usamos esse teorema quando não podemos aplicar métodos convencionais para se obter uma derivada, como por exemplo em derivadas de funções trigonométricas e logarítmicas.

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

A função é dada por f x = e 1 x 2 + 1 e x 2 .

E portanto, sua derivada é dada por

f ' x = d e 1 x 2 + 1 e x 2 d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então podemos derivar cada termo individualmente

f ' x = d e 1 x 2 d x + d 1 e x 2 d x

Primeiro vamos em busca da derivada de e 1 x 2

Perceba que se esse termo fosse uma função isolada, seria uma função composta já que temos uma função e x onde x é outra função x 2 ...

Nesses casos, aplicamos a regra da cadeia para obter a derivada. Na regra da cadeia calculamos o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja

d e 1 x 2 d x = d 1 x 2 d x · d e u d u

Se chamarmos o termo 1 x 2 de x - 2 podemos derivar pelo método de derivação polinomial e a derivada de e u é dada pelo teorema fundamental do cálculo

d e 1 x 2 d x = - 2 x - 3 · e u

Substituindo u por 1 / x 2 de volta e organizando o resultado

d e 1 x 2 d x = - 2 e 1 x 2 x 3

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos derivar o termo 1 e x 2 e para facilitar, vamos chamá-lo de e - x 2 .

Perceba que vamos aplicar a regra da cadeia novamente...

d 1 e x 2 d x = d e - x 2 d x = d - x 2 d x · d e v d v

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, obtemos que

d 1 e x 2 d x = - 2 x · e v

Voltando v para - x 2 ...

d 1 e x 2 d x = - 2 x e - x 2 = - 2 x e x 2

Substituindo os resultados em f ' x

f ' x = d e 1 x 2 d x + d 1 e x 2 d x

f ' x = - 2 e 1 x 2 x 3 - 2 x e x 2

f ' x = - 2 e 1 x 2 x 3 + x e x 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = - 2 e 1 x 2 x 3 + x e x 2

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Verifique que y = - ln ⁡ e 2 - x satisfaz d y d x = e y = 1 e , com y = - 2 quando x=0 .
Calcule g ' x g x = ln ⁡ x
Calcule g ' x g x = log π ⁡ x
Calcule f ' x . f x = π x
Calcule f ' x . f x = 2 x