19 - Use a derivação logarítmica para calcular:

b ) y = x 2 + 1 x - 1 2

Passo 1

Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nesse caso, nós usaremos essa técnica para poder aproveitar as propriedades dos logaritmos.

Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:

ln ⁡ y = ln ⁡ f x

E então, no lado direito da expressão, iremos usar as propriedades de logaritmo para tornar nossa expressão mais simples e portanto mais fácil de derivar, as propriedades que usaremos são:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b  

ln ⁡ a b = b l n a

E no lado esquerdo da expressão temos l n ⁡ ( y ) que iremos derivar implicitamente, o que ficará como:

ln ⁡ y ' = 1 y y '

O y ' nada mais é do que a derivada que queremos encontrar...

Passo 2

Temos nesse caso que:

y = x 2 + 1 x - 1 2

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 + 1 x - 1 2

Perceba que podemos abrir essa raíz na multiplicação de duas raízes:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 + 1 * x - 1 2

Antes de prosseguir, perceba que x - 1 2 por se tratar da raíz de um termo elevado ao quadrado, podemos mandar essa raíz embora, ficando então com:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 + 1 * x - 1

Aplicando a propriedade do logaritmo da multiplicação é a soma dos logaritmos, teremos:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 + 1 + ln ⁡ x - 1

O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!

Passo 3

1 y y ' = 1 x 2 + 1   x 2 + 1 ' + 1 x - 1 x - 1 '

Precisamos agora encontrar a derivada de x 2 + 1   ....

Para isso, vamos lembrar que x = x 1 2 e aplicando a regra do peteleco teremos:

x 1 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2

E por fim lembrar que x - 1 2 = 1 x

Sendo assim temos:

x ' = 1 2 x

E analogamente, temos:

x 2 + 1 ' = 1 2 x 2 + 1 x 2 + 1 '

Perceba que nesse caso, precisamos multiplicar pela derivada do termo de dentro da raíz, pois temos aqui uma regra da cadeia. E a derivada de x 2 + 1 é igual a 2 x

x + 1 ' = 1 2 x 2 + 1 2 x = x x 2 + 1

Vou substituir tudo no próximo passo, calma aí!

Passo 4

A gente tinha que

1 y y ' = 1 x 2 + 1   x 2 + 1 ' + 1 x - 1 x - 1 '

E substituindo as derivadas teremos:

1 y y ' = 1 x 2 + 1   x x 2 + 1 + 1 x - 1 1

Podemos multiplicar essas frações, o que vai dar em

1 y y ' = x x 2 + 1 2 + 1 x - 1

O que possibilita que a gente corte a raíz:

1 y y ' = x x 2 - 1 + 1 x - 1

Podemos aqui reescrever o denominador x 2 - 1 como sendo igual a x - 1 ( x + 1 ) para então fazermos a soma das frações do lado da direita da equação:

1 y y ' = x ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 1 x - 1

1 y y ' = x + ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 )

1 y y ' = 2 x + 1 ( x + 1 ) ( x - 1 )

Não tem muito mais o que fazer, vamos deixar o y ' isolado...

y ' = y * 2 x + 1 ( x + 1 ) ( x - 1 )

Agora para finalizar é só substituir y = x 2 + 1 x - 1 2 no nosso resultado.

Passo 5

Passo 6

y ' = x 2 + 1 x - 1 2 * 2 x + 1 ( x + 1 ) ( x - 1 )

Lembra que essa raíz pode ser aberta na multiplicação de duas raízes e que x - 1 2 = x - 1 , portanto, teremos:

y ' = x 2 + 1 ( x - 1 ) * 2 x + 1 ( x + 1 ) ( x - 1 )

Sendo assim, podemos multiplicar e cortar o termo ( x - 1 )

y ' = x 2 + 1 2 x + 1 x + 1

Voilá, taí a nossa resposta.

Resposta

y ' = x 2 + 1 2 x + 1 x + 1

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