5. Determine a equação da reta que seja tangente ao gráfico de

f x = { l n l n   1 x + 4   ,   - 4 < x < - 3   e x 2 + 5 x + 6 - 1 ,   x ≥ - 3  

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos achar a equação da reta tangente da função f x no ponto x 0 = 3 .

Para quem não lembra a equação da reta tangente tem essa cara aqui,

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde, ( x 0 , y 0 ) é o ponto onde a reta tangente passa e y ' x 0 é a derivada no ponto.

Passo 2

O problema forneceu quem é x 0 , para achar y 0 é só a gente substituir x 0 na função.

Como x 0 = - 3 é definido pela parte e x 2 + 5 x + 6 - 1 , vamos substituir este valor nessa equação e calcular,

f x = e x 2 + 5 x + 6 - 1

f - 3 = e - 3 2 + 5 - 3 + 6 - 1

f - 3 = 1 - 1 = 0

Logo, y 0 = 0 .

Agora precisamos achar a derivada no ponto!

Passo 3

Para derivar a nossa função no ponto, precisamos aplica a regra da cadeia,

f ' x = x 2 + 5 x + 6 ' e x 2 + 5 x + 6 ' - 1 '

f ' x = 2 x + 5 e x 2 + 5 x + 6 - 0

f ' x = 2 x + 5 e x 2 + 5 x + 6

Mas precisamos da derivada no ponto x 0 = - 3 . Então vamos substituir:

f ' - 3 = 2 - 3 + 5 e - 3 2 + 5 - 3 + 6

f ' - 3 = - 1 e 0 = - 1

Galerinha, lembrando que f ' - 3 = y ' - 3 . É a mesma coisa só que com notações diferentes!

Então agora só falta substituir na equação da reta tangente.

Agora vamos para equação da reta tangente!

Passo 4

Tinhamos a seguinte equação geral da reta tangente,

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Substituindo os valores encontrados,

y - 0 = - 1 x - - 3

y = - x - 3

Prontinho!

Resposta

y = - x - 3

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