Calcule a derivada das funções abaixo

b )   f x = e x s e n ( 5 x )

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão fala de derivada de uma função! Precisamos encontrar a derivada dessa função aqui

f x = e x s e n ( 5 x )

Puxa, vida e agora? Como derivar isso?

Quando você tiver uma função dentro do argumento de outra função, vamos usar a regra da cadeia, que é o seguinte:

Supondo

f = f g x

A derivada da f vai ser

f ' = f ' g x . g ' x

Ou seja, vamos derivar a função mais ‘de fora’, mantendo como argumento a outra função. Depois multiplicar pela derivada desse argumento!

Parou por aqui? Ainda não! Você percebe que no expoente temos um produto de duas funções?

Então aqui vamos usar a regra do produto

f x = g x h ( x )

f ' x = g ' x h x + h ' ( x ) g ( x )

Beleza? Mas relaxa, vamos fazer essas derivadas separadamente!

E é lógico que vou fazer passo a passo com você! Bora começar?

Passo 2

Nossa função é a seguinte

f x = e x s e n ( 5 x )

A função mais de fora é a exponencial, já que a parte x s e n 5 x está no seu argumento! E nada mais justo que lembrarmos da derivada da exponencial

y x = e x → y ' x = e x

Então vamos lá! Vamos aplicar a regra da cadeia:

f ' x = e x s e n 5 x . x s e n 5 x '

tudo bem até aqui? Nossa missão agora é encontrar a derivada de

x s e n 5 x

Passo 3

Precisamos derivar o argumento da exponencial, esse termo aqui

x s e n 5 x

Que pode ser visto como o produto de dois termos: um polinômio e um seno, então

g x = x → g ' x = 1

h x = s e n 5 x → h ' x = c o s c o s   5 x   . 5 x ' = 5 c o s c o s   ( 5 x )  

obs.: na derivada daquele seno também usamos a regra da cadeia, ok?

Agora é só aplicar a regra do produto:

f ' x = g ' x h x + h ' ( x ) g ( x )

f ' x = 1 . s e n 5 x + 5 c o s c o s   ( 5 x )   . x

f ' x = s e n 5 x + 5 x c o s c o s   ( 5 x )  

Belezinha? Agora é só retornar lá para nossa derivada da função original e substituir o resultado!

Passo 4

Nossa função era

f x = e x s e n ( 5 x )

Aplicando a regra da cadeia ficamos com

f ' x = e x s e n 5 x . x s e n 5 x '

E no passo anterior calculamos x s e n 5 x ' = s e n 5 x + 5 x c o s c o s   ( 5 x )   , agora é só substituir:

f ' x = e x s e n 5 x . s e n 5 x + 5 x c o s c o s   5 x  

E é isso pessoal! Nossa resposta fica assim mesmo! Vamos treinar mais?

Resposta

f ' x = e x s e n 5 x . s e n 5 x + 5 x c o s c o s   5 x  

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x