Derive:

j) y = ln ⁡ x 2 + 3 x + 9

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Temos dado que f x = ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 , assim f x + h = ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 . De forma que temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 - ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 h

Sabendo que a soma dos limites é o limite da soma, podemos fazer:

f ' x = lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 h - lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 h

E agora sim podemos fazer ambos os limites separadamente e finalmente acharmos a nossa derivada. Vamos lá?!

Passo 3

Para o primeiro:

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 h

Primeiramente, vemos que se fizermos h = 0 teremos uma indeterminação, ou seja:

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 h = ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 0

Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 h = lim h → 0 ⁡   d d h ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 d d h h

Temos um probleminha sobre a derivada do logaritmo neperiano. Como que ela é feita? Lembra? Era desse modo:

d d x ln ⁡ x = 1 x x '

Onde x ' é derivada do x , ou seja, derivada de dentro do argumento do logaritmo. Assim:

d d h ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 = 1 x + h 2 + 3 x + h + 9 ⋅ d d h x + h 2 + 3 x + h + 9

Agora tem outro probleminha que é fazermos a derivada

d d h x + h 2 + 3 x + h + 9

Que é feita pela regra do tombo. Sabe como é? Desse modo:

d d x x n = n x n - 1 x '

Ou seja, tombamos um valor do expoente. Assim:

d d h x + h 2 + 3 x + h + 9 = 2 ⋅ x + h 2 - 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ x + h 1 - 1 + 0

Que é exatamente:

2 ⋅ x + h 2 - 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ x + h 1 - 1 + 0 = 2 x + h + 3

Portanto, colocando essa derivada no valor que tínhamos antes:

1 x + h 2 + 3 x + h + 9 ⋅ d d h x + h 2 + 3 x + h + 9 = 2 x + h + 3 x + h 2 + 3 x + h + 9

E logo:

lim h → 0 ⁡   d d h ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 d d h h = lim h → 0 ⁡   2 x + h + 3 x + h 2 + 3 x + h + 9 1

E agora sim, se fizermos h = 0 teremos um valor nesse ponto:

lim h → 0 ⁡   2 x + h + 3 x + h 2 + 3 x + h + 9 1 = 2 x + 3 x 2 + 3 x + 9

E achamos o valor do nosso primeiro limite. Vamos para o segundo?

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 h

Veja que novamente se fizermos h = 0 teremos uma indeterminação

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 h =   ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 0

O que significa que novamente podemos usar a regra de l’hospital

Então derivando:

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 h = lim h → 0 ⁡   d d h ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 d d h h

Mas veja que ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 é constante para h , e sabemos que a derivada é a variação, logo a variação de algo constate é 0 , assim d d h ( ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 = 0 . Portanto:

lim h → 0 ⁡   d d h ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 d d h h = lim h → 0 ⁡ 0 1

E logo:

lim h → 0 ⁡ 0 1 = 0

E achamos então o resultado do segundo limite. Vamos lá ver como fica a derivada?

MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?

Passo 4

Assim, tínhamos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 h - lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 h  

Achamos que:

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x + h 2 + 3 x + h + 9 h - lim h → 0 ⁡   ln ⁡ x 2 + 3 x + 9 h = 2 x + 3 x 2 + 3 x + 9 - 0

Portanto, concluímos que:

f ' x = 2 x + 3 x 2 + 3 x + 9

E portanto achamos a derivada de f x = ln ⁡ x 2 + 3 x + 9

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

f ' x = y ' = 2 x + 3 x 2 + 3 x + 9

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x