Derive:

t )   y = x   l n ( 2 x + 1 )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

y = x   l n ( 2 x + 1 )

Para isso iremos utilizar a regra do produto, a regra da cadeia e algumas propriedades básicas da derivada, assim como derivadas conhecidas! Vamos relembrá-las uma a uma quando necessário! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, queremos calcular essa derivada, portanto, temos que

y ' = d d x [ x   l n ( 2 x + 1 ) ]

Devemos aplicar a regra do produto quando temos uma derivada de um produto de funções, a regra do produto é tal que

y ' = d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Note que em nosso caso podemos identificar que f ( x ) = x e g ( x ) = l n ( 2 x + 1 ) . Aplicando a regra do produto, temos então que

y ' = d d x [ x ] l n ( 2 x + 1 ) + x d d x [ l n ( 2 x + 1 ) ]

Desta forma o problema se reduziu ao cálculo das derivadas mais simples acima! Aqui vamos precisar utilizar a regra da cadeia na segunda derivada! Você se lembra como fazemos isso? Saca só!

Passo 3

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função composta do tipo h ( x ) = f ( g ( x ) ) , temos que a derivada será obtida pela regra da cadeia, ou seja

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d x [ g ( x ) ]

se identificarmos que f ( g ) = l n ( g ) , em que g = 2 x + 1 , temos que a derivada será dada por

d d x [ l n ( 2 x + 1 ) ] = d d g [ l n ( g ) ] d d x [ 2 x + 1 ]

Consegue lembrar qual serão os resultados individuais? Bora resolver isso!

Passo 4

De cara, temos que a seguinte derivada é conhecida

d d g [ l n ( g ) ] = 1 g

Essa é a primeira, para a segunda podemos lembrar a seguinte propriedade da derivada que também é proveniente da regra da cadeia

d d x [ g ( c x ) ] = c d d ( c x ) g ( c x )

Ou seja, quando temos uma constante c multiplicando a variável que estamos derivando, nós usamos as regras de derivação normais, mas temos que multiplicar o resultado pela constante! Utilizando então essa propriedade, e que

d d x [ 2 x + 1 ] = 2 d d x [ x ] + d d x [ 1 ]

Como a derivada de qualquer constante é zero, e pela regra do tombo temos que

d d x [ x n ] = n   x n - 1

Podemos escrever que

d d x [ 2 x + 1 ] = 2 ( 1 ) x 1 - 1 + 0 = 2

Juntando os resultados acima, temos então que nossa derivada é

d d x [ l n ( 2 x + 1 ) ] = d d g [ l n ( g ) ] d d x [ 2 x + 1 ] = 2 2 x + 1

em que usei que g = 2 x + 1 . Essa era a derivada mais complicada! Consegue resolver a derivada que falta? Vem cá!

Passo 5

Queremos calcular

y ' = d d x [ x ] l n ( 2 x + 1 ) + x d d x [ l n ( 2 x + 1 ) ]

A segunda derivada já calculamos no passo anterior, agora, só precisamos calcular

d d x [ x ] = ?

Mas, essa derivada é dada pela regra do tombo, já até mesmo fizemos ela anteriormente na questão! O resultado é

d d x [ x ] = ( 1 ) x 1 - 1 = 1

De forma que juntando todos nossos resultados, temos que

y ' = d d x [ x ] l n ( 2 x + 1 ) + x d d x [ l n ( 2 x + 1 ) ] = l n ( 2 x + 1 ) + 2 x 2 x + 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y ' = l n ( 2 x + 1 ) + 2 x 2 x + 1

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