A derivada da função y   =   f ( x ) definida implicitamente abaixo calculada no ponto ( 1,1 )   é :

y + x l n ( y )   =   x

Podemos afirmar:

  1. 2
  2. 3 / 2
  3. 1
  4. 1 / 2
  5. 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é descobrir qual é o valor da derivada da função y   =   f ( x ) a seguir, no ponto ( 1,1 )

y + x l n ( y )   =   x

Como fazemos isso? Derivada implicita!! Lembram dela? É uma regra da cadeia mais marota. Derivamos normalmente em relação a x e quando formos derivar y usamos o fato que

d d x y   =   y '

ou seja, usamos a notação de derivada no y . Simples, né? Então vamos nessa!!!!

Derivando a função temos:

d d x ( y + x l n ( y )   ) =   d d x x

Usando a linearidade da derivada

⇒ y '   +   d d x ( x l n ( y ) ) = 1

Agora, usamos a regra do produto

⇒ y '   +   l n ( y ) + x d d x ( l n ( y ) ) = 1

E essa parte é a complicada, pois precisamos lembrar que y é uma função de x então temos que aplicar a regra da cadeia, e por fim temos que

⇒ y '   +   l n ( y ) + x 1 y y ' = 1

Olha que legal, agora podemos substituir os valores de x , y por ( 1,1 ) para obtermos o valor de y ' nesse ponto. Então temos:

y '   +   l n ( y ) + x 1 y y ' = 1

Substituindo os valores de x , y

y '   +   l n ( 1 ) + 1 1 1 y ' = 1

⇒ y '   +   0 + y ' = 1

⇒ y ' =   1 2

Que é a resposta presente na letra d )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

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