6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

i) f x = x π + π x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = x π + π x .

Como vamos fazer isso? 🤔

O que nos salta aos olhos nessa função, é que temos a variável x no expoente de um dos termos e pra isso, podemos aplicar a regra do expoente fazendo

π x = e x l n π

Perceba que esse termo se transformou em uma função composta, ou seja, podemos reescrever o termo e x l n π como e u onde u = x l n π .

Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = x π + π x , e sua derivada por

f ' x = d x π + π x d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

f ' x = d x π d x + d π x d x

Substituindo π x = e x l n π como vimos no passo 1, temos

f ' x = d x π d x + d e x l n π d x

Aplicando a regra da cadeia na derivada do termo e x l n π ...

f ' x = d x π d x + d x l n π d x · d e u d u

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de x π e x l n π são

d x π d x = π x π - 1

d x l n π d x = ln ⁡ π

Já a derivada do termo e u é dada pelo teorema fundamental do cálculo

d e u d u = e u

Substituindo os resultados em f ' x ...

f ' x = π x π - 1 + ln ⁡ π · e u

Voltando u para x l n π

f ' x = π x π - 1 + ln ⁡ π · e x l n π

f ' x = π x π - 1 + ln ⁡ π π x

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = π x π - 1 + ln ⁡ π π x

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